Determine os pontos de máximo local, mínimo local e de sela da função
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo multivariável. A gente precisa encontrar os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e, depois, aplicar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para
:
Para
:
Passo 4
Combinando os valores de
e
, temos quatro pontos críticos possíveis:
Passo 5
Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar cada um desses pontos. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
O determinante da matriz Hessiana é dado por:
Passo 6
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Para
:
Como
e
, esse ponto é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
e
, esse ponto é um ponto de mínimo local.
Para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
- Ponto de máximo local:
- Ponto de mínimo local:
- Pontos de sela:
e
Exercícios relacionados
Calcule, caso existam, os limites a seguir:
Quais são os autovalores de uma matriz ortogonal?
Calcule, caso existam, os limites a seguir:
Calcule, caso existam, os limites a seguir: