Determine os pontos de máximo local, mínimo local e de sela da função f(x, y) = 2*x^3 + y^3 - 3*x^2 - 3*y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um exercício de cálculo multivariável. A gente precisa encontrar os pontos de máximo local, mínimo local e pontos de sela da função . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para encontrar os pontos críticos e, depois, aplicar o teste da segunda derivada para classificar esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Os pontos críticos acontecem onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos igualar essas derivadas a zero para encontrar os pontos críticos.
Para :
Para :

Passo 4

Combinando os valores de e , temos quatro pontos críticos possíveis:

Passo 5

Agora, vamos usar o teste da segunda derivada para classificar cada um desses pontos. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais.
O determinante da matriz Hessiana é dado por:

Passo 6

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.
Para :
Como e , esse ponto é um ponto de máximo local.
Para :
Como e , esse ponto é um ponto de mínimo local.
Para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

  • Ponto de máximo local:
  • Ponto de mínimo local:
  • Pontos de sela: e

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