Quais são os autovalores de uma matriz ortogonal?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre qual são os autovalores de uma matriz ortogonal. Esse assunto está na área de Álgebra Linear, especificamente lidando com matrizes e propriedades de autovalores. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como os autovalores se comportam nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz quadrada
é dita ortogonal se ela satisfaz a condição:
onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade. Isso significa que as colunas (e linhas) de
são vetores ortonormais.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovalores. Um número
é um autovalor de uma matriz
se existe um vetor não nulo
tal que:
Ou seja, multiplicar a matriz pelo vetor apenas “escala” o vetor pela constante
.
Passo 4
Para encontrar os autovalores de uma matriz ortogonal, vamos usar a propriedade que, para matrizes ortogonais, os autovalores têm módulo igual a 1. Isso porque, se
é ortogonal e
, então:
Como
preserva o comprimento dos vetores (por ser ortogonal), temos
. Portanto:
Daí,
.
Passo 5
Isso nos diz que os autovalores de uma matriz ortogonal são números complexos cuja magnitude é 1. Ou seja, eles podem ser:
- Reais:
ou - Complexos: da forma
, onde é um ângulo real, o que representa números na circunferência unitária no plano complexo.
Passo 6
Portanto, os autovalores de uma matriz ortogonal sempre terão módulo igual a 1, podendo ser reais ou complexos, mas sempre localizados na circunferência unitária.
Resposta
Os autovalores de uma matriz ortogonal são números complexos com módulo igual a 1, ou seja, são reais iguais a
ou
, ou números complexos da forma
com
.
Exercícios relacionados
Calcule, caso existam, os limites a seguir:
Sabendo que um autovalor da matriz A do exercício 11 é igual a 9 , mostre como obter o autovetor correspondente usando decomposição QR.
Calcule, caso existam, os limites a seguir:
Determine os pontos de máximo local, mínimo local e de sela da função
.