Quais são os autovalores de uma matriz ortogonal?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre qual são os autovalores de uma matriz ortogonal. Esse assunto está na área de Álgebra Linear, especificamente lidando com matrizes e propriedades de autovalores. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma matriz ortogonal e como os autovalores se comportam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz quadrada é dita ortogonal se ela satisfaz a condição:
onde é a transposta de e é a matriz identidade. Isso significa que as colunas (e linhas) de são vetores ortonormais.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre autovalores. Um número é um autovalor de uma matriz se existe um vetor não nulo tal que:
Ou seja, multiplicar a matriz pelo vetor apenas “escala” o vetor pela constante .

Passo 4

Para encontrar os autovalores de uma matriz ortogonal, vamos usar a propriedade que, para matrizes ortogonais, os autovalores têm módulo igual a 1. Isso porque, se é ortogonal e , então:
Como preserva o comprimento dos vetores (por ser ortogonal), temos . Portanto:
Daí, .

Passo 5

Isso nos diz que os autovalores de uma matriz ortogonal são números complexos cuja magnitude é 1. Ou seja, eles podem ser:
  • Reais: ou
  • Complexos: da forma , onde é um ângulo real, o que representa números na circunferência unitária no plano complexo.

Passo 6

Portanto, os autovalores de uma matriz ortogonal sempre terão módulo igual a 1, podendo ser reais ou complexos, mas sempre localizados na circunferência unitária.

Resposta

Os autovalores de uma matriz ortogonal são números complexos com módulo igual a 1, ou seja, são reais iguais a ou , ou números complexos da forma com .

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