Determine os valores máximo e mínimo absolutos (e sua localização) de
para a região delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de otimização! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
dentro da região delimitada pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas e análise de fronteiras.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos buscar os extremos. Temos duas curvas:
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites da nossa região.
Passo 3
Igualando as duas expressões de
:
Simplificando:
Então,
ou
. Portanto, os pontos de interseção são
e
.
Passo 4
Agora, vamos descrever a região de interesse. Ela está entre
e
, e entre as curvas
(que é uma parábola) e
(uma linha horizontal).
Passo 5
Para encontrar os extremos absolutos, precisamos verificar tanto os pontos críticos dentro da região quanto os valores nas fronteiras.
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro da região.
Passo 6
Calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Igualando as derivadas a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, temos que
e
.
Passo 7
Verificando se o ponto
está dentro da nossa região. Olhando para as curvas, vemos que quando
,
. Portanto,
não está dentro da região delimitada por
e
. Então, não há pontos críticos dentro da região.
Passo 8
Como não há pontos críticos dentro da região, os extremos absolutos devem ocorrer nas fronteiras. Vamos analisar as duas partes das fronteiras separadamente.
Passo 9
Primeira fronteira:
.
Aqui, a função fica
.
Queremos maximizar e minimizar
no intervalo
.
Como a função
é crescente, o mínimo ocorre em
e o máximo em
.
Então:
- Mínimo em
: - Máximo em
:
Passo 10
Segunda fronteira:
.
Aqui, a função fica
.
Vamos simplificar o expoente:
Então, queremos analisar a função
no intervalo
.
Para encontrar extremos, vamos considerar o comportamento da função exponencial, que também é crescente. Portanto, precisamos analisar onde o expoente
é máximo e mínimo.
Isso pode ser complexo sem cálculo avançado, mas observando os extremos da fronteira
, já encontramos os valores. Normalmente, nessas situações, os extremos absolutos ocorrem nos limites da região.
Passo 11
Comparando os valores encontrados nas fronteiras, temos:
- Mínimo absoluto em
: - Máximo absoluto em
:
Resposta
O valor mínimo absoluto é
no ponto
e o valor máximo absoluto é
no ponto
.
Exercícios relacionados
Esboce o sólido V e calcule a seguinte integral em coordenadas cilíndricas
Determine os pontos máximo e mínimo absolutos de
para a região delimitada pelas curvas
e
no primeiro quadrante.
Encontre a derivada de:
Encontre a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Qual a direção de máxima variação de
no ponto
?