Sejam
e
funções de classe
tais que
Usando a regra da cadeia verifique que
ou para os masoquistas
Dica: As entradas da matriz jacobiana de
são
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a regra da cadeia em cálculo multivariável para verificar uma igualdade envolvendo derivadas parciais de funções compostas. Temos duas funções:
E a composição delas é
. Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial de
em relação a
(
) é igual a uma combinação das derivadas parciais de
e das funções
. Para isso, vamos precisar entender e aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como
, a derivada da composição em relação a uma variável (digamos,
) não depende apenas da derivada de
em relação às suas próprias variáveis, mas também das derivadas das funções internas
em relação a
.
Matematicamente, para funções de várias variáveis, a regra da cadeia diz que:
Aqui,
representa a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos aplicar essa regra passo a passo. Primeiro, identificamos as derivadas parciais de
em relação a
:
Essas representam como
muda quando apenas uma das suas variáveis internas muda.
Depois, identificamos as derivadas parciais das funções
em relação a
:
Essas derivadas mostram como cada uma das funções internas
muda quando
varia.
Passo 4
Agora, multiplicamos cada derivada parcial de
pela respectiva derivada parcial da função interna:
Isso combina o efeito de como
muda em resposta a mudanças em
e como
mudam em resposta a mudanças em
.
Passo 5
Finalmente, juntando tudo isso, temos que a derivada parcial de
em relação a
é:
Isso confirma a igualdade que queríamos verificar usando a regra da cadeia.
Resposta
A igualdade foi verificada usando a regra da cadeia, demonstrando que:
Exercícios relacionados
Sejam
e
dadas por
Calcule as matrizes jacobianas de
e
;
Sejam
e
dadas por
Use a regra da cadeia para calcular a matriz jacobiana de
o
;
Sejam
e
funções de classe
tais que
Aplique uma fórmula semelhante para calcular
em que
e
Determine os pontos de máximo e mínimo da função
, definida por