Sejam e funções de classe tais que
Usando a regra da cadeia verifique que
ou para os masoquistas
Dica: As entradas da matriz jacobiana de são e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a regra da cadeia em cálculo multivariável para verificar uma igualdade envolvendo derivadas parciais de funções compostas. Temos duas funções:
E a composição delas é . Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial de em relação a ( ) é igual a uma combinação das derivadas parciais de e das funções . Para isso, vamos precisar entender e aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como , a derivada da composição em relação a uma variável (digamos, ) não depende apenas da derivada de em relação às suas próprias variáveis, mas também das derivadas das funções internas em relação a .
Matematicamente, para funções de várias variáveis, a regra da cadeia diz que:
Aqui, representa a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos aplicar essa regra passo a passo. Primeiro, identificamos as derivadas parciais de em relação a :
Essas representam como muda quando apenas uma das suas variáveis internas muda.
Depois, identificamos as derivadas parciais das funções em relação a :
Essas derivadas mostram como cada uma das funções internas muda quando varia.

Passo 4

Agora, multiplicamos cada derivada parcial de pela respectiva derivada parcial da função interna:
Isso combina o efeito de como muda em resposta a mudanças em e como mudam em resposta a mudanças em .

Passo 5

Finalmente, juntando tudo isso, temos que a derivada parcial de em relação a é:
Isso confirma a igualdade que queríamos verificar usando a regra da cadeia.

Resposta

A igualdade foi verificada usando a regra da cadeia, demonstrando que:

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Sejam e dadas por
Calcule as matrizes jacobianas de e ;
Sejam e dadas por
Use a regra da cadeia para calcular a matriz jacobiana de o ;
Sejam e funções de classe tais que
Aplique uma fórmula semelhante para calcular em que e
Determine os pontos de máximo e mínimo da função , definida por