Sejam f: R^3 R e g: R^3 R^3 funções de classe C^1 tais que
(f circ g)(x, y, z)=f(g(x, y, z))=f(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))
Usando a regra da cadeia verifique que
D1(f circ g)=D1 f D1 u+D2 f D1 v+D3 f D1 w
ou para os masoquistas
D1(f circ g)(x, y, z)=D1 f & f(x, y, z)) D1 u(x, y, z) + & D2 f(g(x, y, z)) D1 v(x, y, z) + & D3 f(g(x, y, z)) D1 w(x, y, z)
Dica: As entradas da matriz jacobiana de f circ g são D1(f circ g), D2(f circ g) e D3(f circ g).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente usar a regra da cadeia em cálculo multivariável para verificar uma igualdade envolvendo derivadas parciais de funções compostas. Temos duas funções:
E a composição delas é . Nosso objetivo é mostrar que a derivada parcial de em relação a ( ) é igual a uma combinação das derivadas parciais de e das funções . Para isso, vamos precisar entender e aplicar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a regra da cadeia. Quando temos uma função composta, como D1(f circ g) = partial fpartial u cdot partial upartial x + partial fpartial v cdot partial vpartial x + partial fpartial w cdot partial wpartial x , a derivada da composição em relação a uma variável (digamos, ) não depende apenas da derivada de em relação às suas próprias variáveis, mas também das derivadas das funções internas em relação a .
Matematicamente, para funções de várias variáveis, a regra da cadeia diz que:
Aqui, representa a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos aplicar essa regra passo a passo. Primeiro, identificamos as derivadas parciais de em relação a :
Essas representam como muda quando apenas uma das suas variáveis internas muda.
Depois, identificamos as derivadas parciais das funções em relação a :
Essas derivadas mostram como cada uma das funções internas muda quando varia.

Passo 4

Agora, multiplicamos cada derivada parcial de partial fpartial u cdot partial upartial x + partial fpartial v cdot partial vpartial x + partial fpartial w cdot partial wpartial x pela respectiva derivada parcial da função interna:
Isso combina o efeito de como muda em resposta a mudanças em e como mudam em resposta a mudanças em .

Passo 5

Finalmente, juntando tudo isso, temos que a derivada parcial de D1(f circ g) = D1 f cdot D1 u + D2 f cdot D1 v + D3 f cdot D1 w em relação a é:
Isso confirma a igualdade que queríamos verificar usando a regra da cadeia.

Resposta

A igualdade foi verificada usando a regra da cadeia, demonstrando que:
D1(f circ g) = D1 f cdot D1 u + D2 f cdot D1 v + D3 f cdot D1 w

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