Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos ver o que a questão pede! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para identificar onde a função atinge esses pontos extremos.
Passo 2
Primeiro, para achar os pontos de máximo e mínimo, a gente precisa encontrar onde a derivada da função
é igual a zero ou não existe. Então, vamos calcular a primeira derivada de
.
Passo 3
Usando a regra do produto para derivadas, onde se
, então
. Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, basta resolver:
Então,
ou
que dá
.
Passo 5
Temos dois pontos críticos:
e
. Para saber se são máximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor desses pontos.
Vamos calcular a segunda derivada
para facilitar:
Agora, vamos avaliar
nos pontos críticos:
- Para
:
Como a segunda derivada é zero, precisamos usar o teste da primeira derivada ou analisar o comportamento da função ao redor de
.
Observando a primeira derivada:
-
Para
ligeiramente negativo, -
Para
ligeiramente positivo,
Então,é um ponto de inflexão, não um máximo ou mínimo. -
Para
:
Como
, significa que
é um ponto de máximo.
Resposta
A função
tem um ponto de máximo em
. Não há pontos de mínimo.
Exercícios relacionados
Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
Mostre que
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Calcule a integral dada. Verifique se o resultado está correto derivando o resultado.