Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão pede! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo da função . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas para identificar onde a função atinge esses pontos extremos.

Passo 2

Primeiro, para achar os pontos de máximo e mínimo, a gente precisa encontrar onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Então, vamos calcular a primeira derivada de .

Passo 3

Usando a regra do produto para derivadas, onde se , então . Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero, basta resolver:
Então, ou que dá .

Passo 5

Temos dois pontos críticos: e . Para saber se são máximos ou mínimos, vamos analisar a segunda derivada ou observar o comportamento da primeira derivada ao redor desses pontos.
Vamos calcular a segunda derivada para facilitar:
Agora, vamos avaliar nos pontos críticos:
  • Para :
Como a segunda derivada é zero, precisamos usar o teste da primeira derivada ou analisar o comportamento da função ao redor de .
Observando a primeira derivada:
  • Para ligeiramente negativo,
  • Para ligeiramente positivo,
    Então, é um ponto de inflexão, não um máximo ou mínimo.
  • Para :
Como , significa que é um ponto de máximo.

Resposta

A função tem um ponto de máximo em . Não há pontos de mínimo.

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Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
Mostre que
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Calcule a integral dada. Verifique se o resultado está correto derivando o resultado.