Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar os pontos de máximo e mínimo da função . Para isso, a gente vai usar o cálculo diferencial, especificamente o que a gente aprende sobre derivadas para achar esses pontos importantes na função.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que os pontos de máximo e mínimo da função acontecem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Então, o primeiro passo é calcular a derivada de .

Passo 3

Vamos calcular a derivada de :
Então, a derivada da função é .

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde pode haver máximo ou mínimo), igualamos a derivada a zero:

Passo 5

Vamos resolver essa equação:
Dividindo os dois lados por (desde que ):
Então, temos que .

Passo 6

Sabemos que quando , onde é um número inteiro. Então, os pontos críticos são:

Passo 7

Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função.

Passo 8

Calculando a segunda derivada:

Passo 9

Vamos analisar o sinal da segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
    Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.
  • Para :
    Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.

Resposta

Os pontos de máximo ocorrem em e os pontos de mínimo ocorrem em , onde é um número inteiro.

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