Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra encontrar os pontos de máximo e mínimo da função
. Para isso, a gente vai usar o cálculo diferencial, especificamente o que a gente aprende sobre derivadas para achar esses pontos importantes na função.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que os pontos de máximo e mínimo da função acontecem onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Então, o primeiro passo é calcular a derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Então, a derivada da função é
.
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde pode haver máximo ou mínimo), igualamos a derivada a zero:
Passo 5
Vamos resolver essa equação:
Dividindo os dois lados por
(desde que
):
Então, temos que
.
Passo 6
Sabemos que
quando
, onde
é um número inteiro. Então, os pontos críticos são:
Passo 7
Agora, precisamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar a segunda derivada da função.
Passo 8
Calculando a segunda derivada:
Passo 9
Vamos analisar o sinal da segunda derivada nos pontos críticos:
-
Para
: Como a segunda derivada é negativa,é um ponto de máximo. -
Para
: Como a segunda derivada é positiva,é um ponto de mínimo.
Resposta
Os pontos de máximo ocorrem em
e os pontos de mínimo ocorrem em
, onde
é um número inteiro.
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