Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa função
. O que a gente precisa fazer aqui é estudar a concavidade dessa função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender se a função está “curvada” para cima ou para baixo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
A função é
. Usando a regra da cadeia, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada,
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Começamos com
. Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos descobrir onde a concavidade muda, ou seja, onde
ou é indefinida. Nossa segunda derivada é:
O termo
nunca é zero, então basta resolver
:
Passo 5
Agora, vamos analisar a concavidade em cada intervalo definido pelos pontos
e
:
-
Para
: Escolha . . Então, a concavidade é para cima. -
Para
: Escolha . . Então, a concavidade é para baixo. -
Para
: Escolha . . Então, a concavidade é para cima.
Resposta
A função
tem pontos de inflexão em
e
, onde a concavidade da função muda.
Exercícios relacionados
Mostre que
Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
c)
c)
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.