Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa função . O que a gente precisa fazer aqui é estudar a concavidade dessa função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, vamos usar derivadas, especificamente a segunda derivada, que nos ajuda a entender se a função está “curvada” para cima ou para baixo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto.
A função é . Usando a regra da cadeia, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, . A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da função.
Começamos com . Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Para encontrar os pontos de inflexão, precisamos descobrir onde a concavidade muda, ou seja, onde ou é indefinida. Nossa segunda derivada é:
O termo nunca é zero, então basta resolver :

Passo 5

Agora, vamos analisar a concavidade em cada intervalo definido pelos pontos e :
  • Para : Escolha . . Então, a concavidade é para cima.
  • Para : Escolha . . Então, a concavidade é para baixo.
  • Para : Escolha . . Então, a concavidade é para cima.

Resposta

A função tem pontos de inflexão em e , onde a concavidade da função muda.

Exercícios relacionados

Mostre que
Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
c)
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.