Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos as derivadas das funções trigonométricas inversas: , e . Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação e entender como trabalhar com funções inversas. Vamos passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Vamos começar com a derivada de . Primeiro, lembre-se que é a função inversa do cosseno. Para achar sua derivada, podemos usar a seguinte regra:
Se , então . Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a usando a regra da cadeia.
Derivando :
Agora, resolvemos para :
Sabemos que , já que . Substituindo:
Mas, considerando o domínio da função , a derivada é positiva. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos derivar . Seja , então . Vamos derivar ambos os lados em relação a :
Resolvendo para :
Lembrando que , já que . Então:
Portanto:

Passo 4

Por último, vamos derivar . Seja , então . Derivando ambos os lados:
Resolvendo para :
Sabemos que e (derivado do triângulo retângulo). Substituindo:
Portanto:

Resposta

As derivadas são:

Exercícios relacionados

Use a derivação logarítmica para a achar a derivada da função.
c)
Encontre a derivada . Simplique quando possíve 1
b)
Estude cada função com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão.
Determine os pontos de máximo e mínimo das funções abaixo.