Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos as derivadas das funções trigonométricas inversas:
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação e entender como trabalhar com funções inversas. Vamos passo a passo para deixar tudo claro!
Passo 2
Vamos começar com a derivada de
. Primeiro, lembre-se que
é a função inversa do cosseno. Para achar sua derivada, podemos usar a seguinte regra:
Se
, então
. Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
usando a regra da cadeia.
Derivando
:
Agora, resolvemos para
:
Sabemos que
, já que
. Substituindo:
Mas, considerando o domínio da função
, a derivada é positiva. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos derivar
. Seja
, então
. Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Resolvendo para
:
Lembrando que
, já que
. Então:
Portanto:
Passo 4
Por último, vamos derivar
. Seja
, então
. Derivando ambos os lados:
Resolvendo para
:
Sabemos que
e
(derivado do triângulo retângulo). Substituindo:
Portanto:
Resposta
As derivadas são: