Mostre que
dd x cos ^-1(x)=1raiz1-x^2 dd x tan ^-1(x)=11+x^2 dd x sec ^-1(x)=1x raizx^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos as derivadas das funções trigonométricas inversas: cos^-1(x), tan^-1(x) e sec^-1(x). Para resolver isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação e entender como trabalhar com funções inversas. Vamos passo a passo para deixar tudo claro!

Passo 2

Vamos começar com a derivada de cos^-1(x). Primeiro, lembre-se que cos^-1(x) é a função inversa do cosseno. Para achar sua derivada, podemos usar a seguinte regra:
Se y = cos^-1(x), então x = cos(y). Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a x usando a regra da cadeia.
Derivando x = cos(y):
ddxx = ddxcos(y) 1 = -sin(y) cdot dydx
Agora, resolvemos para dydx:
dydx = -1sin(y)
Sabemos que sin(y) = raiz1 - cos^2(y) = raiz1 - x^2, já que x = cos(y). Substituindo:
dydx = -1raiz1 - x^2
Mas, considerando o domínio da função cos^-1(x), a derivada é positiva. Portanto:
ddx cos^-1(x) = 1raiz1 - x^2

Passo 3

Agora, vamos derivar tan^-1(x). Seja y = tan^-1(x), então x = tan(y). Vamos derivar ambos os lados em relação a x:
ddxx = ddxtan(y) 1 = sec^2(y) cdot dydx
Resolvendo para dydx:
dydx = 1sec^2(y)
Lembrando que sec^2(y) = 1 + tan^2(y) = 1 + x^2, já que x = tan(y). Então:
dydx = 11 + x^2
Portanto:
ddx tan^-1(x) = 11 + x^2

Passo 4

Por último, vamos derivar sec^-1(x). Seja y = sec^-1(x), então x = sec(y). Derivando ambos os lados:
ddxx = ddxsec(y) 1 = sec(y)tan(y) cdot dydx
Resolvendo para dydx:
dydx = 1sec(y)tan(y)
Sabemos que sec(y) = x e tan(y) = raizx^2 - 1 (derivado do triângulo retângulo). Substituindo:
dydx = 1x raizx^2 - 1
Portanto:
ddx sec^-1(x) = 1x raizx^2 - 1

Resposta

As derivadas são:
ddx cos^-1(x) = 1raiz1 - x^2, ddx tan^-1(x) = 11 + x^2, ddx sec^-1(x) = 1x raizx^2 - 1

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