A velocidade de uma onda de comprimento
em água profunda
onde
e
são constantes positivas. Qual é o comprimento de onda que dá a velocidade minima?
Passo 1
Então, a gente tem uma equação que mostra como a velocidade
de uma onda depende do comprimento de onda
na água profunda. A equação é:
onde
e
são constantes positivas. O que a gente precisa descobrir é qual valor de
faz com que a velocidade
seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização, que ajuda a encontrar valores mínimos ou máximos de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a análise:
Para encontrar o valor mínimo de
, vamos focar em minimizar a expressão dentro da raiz, já que
é uma constante positiva e não afeta onde ocorre o mínimo.
Passo 3
Vamos chamar a expressão dentro da raiz de
:
Para encontrar o mínimo de
, precisamos derivar
em relação a
e igualar a derivada a zero. Isso nos dirá onde a função atinge seu ponto mais baixo.
Passo 4
Calculando a derivada de
em relação a
:
A derivada de
é:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
O comprimento de onda que dá a velocidade mínima é
.
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1,5
no ponto
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Determine o período das funções a seguir:
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