A velocidade de uma onda de comprimento em água profunda
onde e são constantes positivas. Qual é o comprimento de onda que dá a velocidade minima?

Passo 1

Então, a gente tem uma equação que mostra como a velocidade de uma onda depende do comprimento de onda na água profunda. A equação é:
onde e são constantes positivas. O que a gente precisa descobrir é qual valor de faz com que a velocidade seja a menor possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente otimização, que ajuda a encontrar valores mínimos ou máximos de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz para facilitar a análise:
Para encontrar o valor mínimo de , vamos focar em minimizar a expressão dentro da raiz, já que é uma constante positiva e não afeta onde ocorre o mínimo.

Passo 3

Vamos chamar a expressão dentro da raiz de :
Para encontrar o mínimo de , precisamos derivar em relação a e igualar a derivada a zero. Isso nos dirá onde a função atinge seu ponto mais baixo.

Passo 4

Calculando a derivada de em relação a :
A derivada de é:
Igualamos a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:

Passo 5

Resolvendo a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando ambos os lados por :
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

O comprimento de onda que dá a velocidade mínima é .

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1,5
no ponto
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Determine o período das funções a seguir:
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