Dotormino a aproximação linear da função em e use-a para aproximar o número

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente determinar a aproximação linear da função no ponto e depois usar essa aproximação para aproximar o valor de . Isso está relacionado ao cálculo diferencial, especificamente à linearização de funções de várias variáveis. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar as derivadas parciais de .
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
  • Valor de :
  • Valor de :
  • Valor de :

Passo 4

Com esses valores, podemos montar a aproximação linear da função no ponto . A fórmula da linearização é:
Onde .
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos usar essa aproximação para calcular . Usando :

Resposta

A aproximação linear da função no ponto é . Usando essa aproximação, o valor de é aproximadamente 1,96.

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