Resolva a equação de Riccati:
.
Passo 1
Então, a gente tem que resolver a equação diferencial de Riccati:
. Essa é uma equação de primeira ordem que envolve
e sua derivada
. Para resolver, vamos precisar usar técnicas específicas para equações de Riccati, que são um tipo especial de equações diferenciais não-lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação de Riccati geral tem a forma
. No nosso caso,
,
e
. O próximo passo é encontrar uma solução particular
dessa equação, ou seja, uma função específica que satisfaça a equação.
Passo 3
Vamos tentar encontrar uma solução particular assumindo que
seja um polinômio de segundo grau, já que temos
na equação. Então, suponhamos que
, onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 4
Derivando
, temos
. Substituindo
e
na equação original:
Expandindo o lado direito:
Igualando os coeficientes dos mesmos poderes de
:
- Coeficiente de
: (números imaginários, o que não é desejável)
Isso indica que nossa suposição inicial não funciona. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 5
Vamos tentar uma solução particular diferente. Outra técnica é assumir que
seja uma função constante. Então, suponhamos
, onde
é constante. Derivando, temos
.
Passo 6
Substituindo na equação original:
Mas isso não faz sentido porque a equação depende de
, então uma solução constante também não funciona. Vamos tentar outro método.
Passo 7
Vamos usar uma substituição para transformar a equação de Riccati em uma equação linear. Suponha que
. Derivando
, temos:
Substituindo na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Esse método está complicando a situação. Vamos tentar outra abordagem.
Passo 8
Finalmente, vamos tentar uma substituição mais simples. Vamos definir
, que simplifica a equação original:
Substituindo na equação de Riccati:
Expandindo:
Agora, temos uma equação que ainda é não-linear, mas simplificada. Nesse ponto, métodos adicionais ou técnicas numéricas podem ser necessários para encontrar a solução.
Resposta
A solução geral da equação de Riccati
é complexa e não pode ser expressa de forma simples através de funções elementares. Portanto, métodos avançados ou soluções numéricas são necessários para obter
.
Exercícios relacionados
Seja
a reta que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
. Determine a distância do ponto
à reta
.
Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(e)
(e)
Resolva a equação diferencial exata: