Seja a reta que passa pelo ponto e é perpendicular à reta . Determine a distância do ponto à reta .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma reta definida por e precisamos encontrar uma reta que é perpendicular à e passa pelo ponto . Depois disso, queremos calcular a distância entre o ponto e essa reta . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas e como calcular distâncias entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o coeficiente angular da reta . A equação da reta é . Podemos reescrever isso na forma . Daí, vemos que o coeficiente angular é .

Passo 3

Como a reta é perpendicular à reta , o coeficiente angular de , que vamos chamar de , é o negativo do inverso de . Ou seja:

Passo 4

Agora que temos o coeficiente angular da reta , que é , vamos usar o ponto pelo qual ela passa, , para encontrar a equação da reta . A forma ponto-inclinação da equação da reta é:
Substituindo e :
Então, a equação da reta é .

Passo 5

Agora precisamos calcular a distância entre o ponto e a reta cuja equação é . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta na forma geral:
Aqui, , e . O ponto é , então e . Substituindo na fórmula:

Resposta

A distância do ponto à reta é .

Exercícios relacionados

Resolva os sistemas abaixo usando o método de Gauss-Jordan. Além disso, calcule o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade:
(e)
Seja uma matriz quadrada de ordem 3 tal que . Calcule:
(f)
Resolva a equação de Riccati: .