Seja r a reta que passa pelo ponto (3,2) e é perpendicular à reta s: x+y=1. Determine a distância do ponto (3,0) à reta r.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão tá pedindo. A gente tem uma reta definida por e precisamos encontrar uma reta que é perpendicular à e passa pelo ponto . Depois disso, queremos calcular a distância entre o ponto e essa reta . A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de retas e como calcular distâncias entre pontos e retas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o coeficiente angular da reta . A equação da reta é . Podemos reescrever isso na forma . Daí, vemos que o coeficiente angular é .

Passo 3

Como a reta mr = -1ms = -1-1 = 1 é perpendicular à reta , o coeficiente angular de , que vamos chamar de , é o negativo do inverso de . Ou seja:

Passo 4

Agora que temos o coeficiente angular da reta y - y1 = mr(x - x1) , que é y - 2 = 1*(x - 3) y - 2 = x - 3 y = x - 1 , vamos usar o ponto pelo qual ela passa, , para encontrar a equação da reta . A forma ponto-inclinação da equação da reta é:
Substituindo e :
Então, a equação da reta é .

Passo 5

Agora precisamos calcular a distância entre o ponto d = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2 e a reta y = x - 1 x - y - 1 = 0 cuja equação é d = |1*3 + (-1)*0 -1|raiz1^2 + (-1)^2 = |3 - 0 -1|raiz1 + 1 = 2raiz2 = 2raiz2 times raiz2raiz2 = 2raiz22 = raiz2 . A fórmula para a distância de um ponto a uma reta é:
Primeiro, vamos reescrever a equação da reta na forma geral:
Aqui, , e . O ponto é , então e . Substituindo na fórmula:

Resposta

A distância do ponto à reta é .

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