Determine os pontos da superfície x y^2 z^3 = 2 que estão mais próximos da origem.

Passo 1

Então, temos essa questão: “Determine os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.” Vamos usar o conteúdo de otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, para resolver isso. Vamos precisar aplicar essa técnica para encontrar os pontos mais próximos da origem que satisfazem a equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos minimizar. A distância de um ponto até a origem é dada pela fórmula . Mas, para facilitar os cálculos, podemos minimizar .

Passo 3

Agora, precisamos levar em conta a restrição que é . Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange, que nos ajudam a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 4

Vamos definir nossas funções:
  • Função a ser minimizada:
  • Restrição:

Passo 5

O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, no ponto de mínimo, o gradiente de é igual a um múltiplo escalar (λ) do gradiente de . Ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema. A partir da equação (1):
Substituindo λ na equação (2):
Multiplicando ambos os lados por y:

Passo 7

Agora, substituindo λ na equação (3):
Multiplicando ambos os lados por z:

Passo 8

Agora, temos expressões para y e z em termos de x:
Vamos substituir essas na restrição :
Multiplicando tudo:
Então:
Tomando a raiz sexta de ambos os lados:

Passo 9

Finalmente, temos:
Esses são os pontos na superfície que estão mais próximos da origem.

Resposta

Os pontos da superfície mais próximos da origem são:

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