Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
Passo 1
Então, temos essa questão: “Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.” Vamos usar o conteúdo de otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange, para resolver isso. Vamos precisar aplicar essa técnica para encontrar os pontos mais próximos da origem que satisfazem a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos minimizar. A distância de um ponto
até a origem é dada pela fórmula
. Mas, para facilitar os cálculos, podemos minimizar
.
Passo 3
Agora, precisamos levar em conta a restrição que é
. Para isso, usamos os multiplicadores de Lagrange, que nos ajudam a encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.
Passo 4
Vamos definir nossas funções:
- Função a ser minimizada:
- Restrição:
Passo 5
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, no ponto de mínimo, o gradiente de
é igual a um múltiplo escalar (λ) do gradiente de
. Ou seja:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema. A partir da equação (1):
Substituindo λ na equação (2):
Multiplicando ambos os lados por y:
Passo 7
Agora, substituindo λ na equação (3):
Multiplicando ambos os lados por z:
Passo 8
Agora, temos expressões para y e z em termos de x:
Vamos substituir essas na restrição
:
Multiplicando tudo:
Então:
Tomando a raiz sexta de ambos os lados:
Passo 9
Finalmente, temos:
Esses são os pontos na superfície
que estão mais próximos da origem.
Resposta
Os pontos da superfície
mais próximos da origem são:
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.
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c)
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