Não existe um campo vetorial
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se existe um campo vetorial
tal que o rotacional de
seja igual a
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacional (ou curl). Para resolver isso, precisamos verificar se o campo vetorial dado satisfaz as condições necessárias para ser o rotacional de algum outro campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma condição fundamental para que um campo vetorial
seja o rotacional de outro campo vetorial
é que a divergência de
seja zero. Ou seja,
Isso porque a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero.
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo vetorial dado
. A divergência é dada por:
Passo 4
Calculando cada derivada parcial:
Então,
Passo 5
Para que
seja o rotacional de algum campo
, a divergência deve ser zero:
Essa equação deve valer para todo
e
.
Passo 6
Analisando a equação
, percebemos que não é possível que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de
e
. Por exemplo, se
e
, temos
, o que é impossível.
Passo 7
Como a divergência de
não é zero, isso significa que não existe um campo vetorial
tal que:
Resposta
Não existe um campo vetorial
tal que
.