Não existe um campo vetorial G tal que
rot G = (2 x, 3 y z, -x z^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se existe um campo vetorial tal que o rotacional de seja igual a . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacional (ou curl). Para resolver isso, precisamos verificar se o campo vetorial dado satisfaz as condições necessárias para ser o rotacional de algum outro campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma condição fundamental para que um campo vetorial seja o rotacional de outro campo vetorial é que a divergência de seja zero. Ou seja,
Isso porque a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial dado . A divergência é dada por:

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
Então,

Passo 5

Para que seja o rotacional de algum campo , a divergência deve ser zero:
Essa equação deve valer para todo e .

Passo 6

Analisando a equação , percebemos que não é possível que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de e . Por exemplo, se e , temos , o que é impossível.

Passo 7

Como a divergência de não é zero, isso significa que não existe um campo vetorial tal que:

Resposta

Não existe um campo vetorial tal que .

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