Não existe um campo vetorial tal que

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está perguntando se existe um campo vetorial tal que o rotacional de seja igual a . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacional (ou curl). Para resolver isso, precisamos verificar se o campo vetorial dado satisfaz as condições necessárias para ser o rotacional de algum outro campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma condição fundamental para que um campo vetorial seja o rotacional de outro campo vetorial é que a divergência de seja zero. Ou seja,
Isso porque a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero.

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo vetorial dado . A divergência é dada por:

Passo 4

Calculando cada derivada parcial:
Então,

Passo 5

Para que seja o rotacional de algum campo , a divergência deve ser zero:
Essa equação deve valer para todo e .

Passo 6

Analisando a equação , percebemos que não é possível que essa igualdade seja verdadeira para todos os valores de e . Por exemplo, se e , temos , o que é impossível.

Passo 7

Como a divergência de não é zero, isso significa que não existe um campo vetorial tal que:

Resposta

Não existe um campo vetorial tal que .

Exercícios relacionados

Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido , se o campo elétrico for
Observação: (Lei de Gauss) A carga total englobada por uma superfície é
onde é a constante de permissividade no vácuo.
Determine os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.
Utilize a transformação para determinar o volume da região limitada pela superfície e pelos planos coordenados.
Questão 1.(6 pontos) Calcule as integrais duplas abaixo:
b) , onde