Encontre o valor da integral integralC(x y-4 z) d s em que C é o segmento de reta que une (1,1,0) a (2,3,-2).
a) 0
b) 21
c) 432
d) 3
e) 11 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral integralC(x y-4 z) , ds, onde C é o segmento de reta que conecta os pontos (1,1,0) e (2,3,-2). Isso envolve cálculo de integrais ao longo de uma curva no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta, expressar a função em termos dessa parametrização e calcular a integral com relação ao comprimento do arco.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta C. Para isso, definimos um parâmetro t que varia de 0 a 1. A parametrização fica:
r(t) = (1 + t, , 1 + 2t, , 0 - 2t) para t in [0, 1]
Aqui, x(t) = 1 + t, y(t) = 1 + 2t e z(t) = -2t.

Passo 3

Agora, vamos expressar a função f(x,y,z) = x y - 4 z em termos de t substituindo x(t), y(t) e z(t):
f(t) = (1 + t)(1 + 2t) - 4(-2t) = (1 + 3t + 2t^2) + 8t = 1 + 11t + 2t^2

Passo 4

Em seguida, calculamos o diferencial de comprimento de arco ds. A derivada da parametrização r'(t) é:
r'(t) = (1, , 2, , -2)
O comprimento de r'(t) é:
|r'(t)| = raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3
Então, ds = 3 , dt.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integralC (x y - 4 z) , ds = integral0^1 (1 + 11t + 2t^2) cdot 3 , dt = 3 integral0^1 (1 + 11t + 2t^2) , dt

Passo 6

Vamos calcular a integral:
3 integral0^1 (1 + 11t + 2t^2) , dt = 3 [ t + 112 t^2 + 23 t^3 ]0^1 = 3 (1 + 112 + 23)
= 3 (66 + 336 + 46) = 3 (436) = 1296 = 432

Resposta

432

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