Encontre o valor de
em que é a região abaixo do plano no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor da integral tripla de sobre a região , que está abaixo do plano no primeiro octante. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Como estamos no primeiro octante, , e são todos maiores ou iguais a zero. O plano vai delimitar o limite superior para , e .

Passo 3

Vamos reescrever a equação do plano para expressar em função de e :
Isso nos dá o limite superior para .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para em função de . Para :
Então, varia de 0 até .

Passo 5

Por fim, vamos encontrar os limites para . Como :
Então, varia de 0 até 2.5.

Passo 6

Agora que temos todos os limites de integração, podemos montar a integral tripla:

Passo 7

Vamos começar integrando em relação a :
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Fazendo uma substituição , , quando , ; quando , :

Passo 9

Por fim, vamos integrar em relação a :
Fazendo uma substituição , , , quando , ; quando , :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados

Encontre o valor da integral em que é o segmento de reta que une a .
a) 0
b) 21
c)
d) 3
e) 11 .
Use o Teorema de Stokes para encontrar o valor de
em que e é a porção da esfera de raio 4
a)
b)
c)
d)
e) .
Determine os pontos da superfície que estão mais próximos da origem.
Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido , se o campo elétrico for
Observação: (Lei de Gauss) A carga total englobada por uma superfície é
onde é a constante de permissividade no vácuo.