Encontre o valor de
integral duplaE integral 6 z^2 d V
em que E é a região abaixo do plano 4 x+y+2 z=10 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor da integral tripla de sobre a região , que está abaixo do plano no primeiro octante. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . Como estamos no primeiro octante, , e são todos maiores ou iguais a zero. O plano vai delimitar o limite superior para , e .

Passo 3

Vamos reescrever a equação do plano para expressar 2z = 10 - 4x - y implies z = 10 - 4x - y2 em função de e :
Isso nos dá o limite superior para .

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites para 10 - 4x - y2 >= 0 implies 10 - 4x - y >= 0 implies y <= 10 - 4x em função de . Para :
Então, varia de 0 até .

Passo 5

Por fim, vamos encontrar os limites para 10 - 4x >= 0 implies x <= 104 = 2.5 . Como :
Então, varia de 0 até 2.5.

Passo 6

Agora que temos todos os limites de integração, podemos montar a integral tripla:
integral0^2.5 integral0^10 - 4x integral0^10 - 4x - y2 6z^2 , dz , dy , dx

Passo 7

Vamos começar integrando em relação a integral0^10 - 4x - y2 6z^2 , dz = 6 [ z^33 ]0^10 - 4x - y2 = 2 ( 10 - 4x - y2 )^3 :
2 ( 10 - 4x - y2 )^3 = (10 - 4x - y)^34
Simplificando:

Passo 8

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^10 - 4x (10 - 4x - y)^34 , dy :
14 integral10 - 4x^0 u^3 (-du) = 14 integral0^10 - 4x u^3 du = 14 [ u^44 ]0^10 - 4x = (10 - 4x)^416
Fazendo uma substituição , , quando , ; quando , :

Passo 9

Por fim, vamos integrar em relação a integral0^2.5 (10 - 4x)^416 , dx :
116 cdot ( -14 ) integral10^0 v^4 dv = 164 integral0^10 v^4 dv = 164 [ v^55 ]0^10 = 10^5320 = 100000320 = 312.5
Fazendo uma substituição , , , quando , ; quando , :

Resposta

O valor da integral tripla é .

Exercícios relacionados