Encontre o valor de
em que
é a região abaixo do plano
no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor da integral tripla de
sobre a região
, que está abaixo do plano
no primeiro octante. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. Como estamos no primeiro octante,
,
e
são todos maiores ou iguais a zero. O plano
vai delimitar o limite superior para
,
e
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação do plano para expressar
em função de
e
:
Isso nos dá o limite superior para
.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para
em função de
. Para
:
Então,
varia de 0 até
.
Passo 5
Por fim, vamos encontrar os limites para
. Como
:
Então,
varia de 0 até 2.5.
Passo 6
Agora que temos todos os limites de integração, podemos montar a integral tripla:
Passo 7
Vamos começar integrando em relação a
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar o resultado em relação a
:
Fazendo uma substituição
,
, quando
,
; quando
,
:
Passo 9
Por fim, vamos integrar em relação a
:
Fazendo uma substituição
,
,
, quando
,
; quando
,
:
Resposta
O valor da integral tripla é
.