em que é a região abaixo do plano no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o valor da integral tripla de sobre a região , que está abaixo do plano no primeiro octante. Vamos usar cálculo integral, especificamente integrais múltiplas, pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração . Como estamos no primeiro octante, , e são todos maiores ou iguais a zero. O plano vai delimitar o limite superior para , e .
Passo 3
Vamos reescrever a equação do plano para expressar em função de e :
Isso nos dá o limite superior para .
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites para em função de . Para :
Então, varia de 0 até .
Passo 5
Por fim, vamos encontrar os limites para . Como :
Então, varia de 0 até 2.5.
Passo 6
Agora que temos todos os limites de integração, podemos montar a integral tripla:
Passo 7
Vamos começar integrando em relação a :
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos integrar o resultado em relação a :
Fazendo uma substituição , , quando , ; quando , :
Passo 9
Por fim, vamos integrar em relação a :
Fazendo uma substituição , , , quando , ; quando , :