Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido
, se o campo elétrico for
Observação: (Lei de Gauss) A carga total englobada por uma superfície
é
onde
é a constante de permissividade no vácuo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Lei de Gauss! O enunciado pede pra gente achar a carga contida num hemisfério sólido definido por
e
, sabendo que o campo elétrico é
. Para isso, vamos usar a fórmula da Lei de Gauss:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo,
é o campo elétrico e
é um elemento de área na superfície
.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a superfície fechada
que envolve o hemisfério sólido. Como estamos lidando com um hemisfério, a superfície
consiste em duas partes:
- A superfície curva do hemisfério (
): onde e . - A base plana circular (
): onde e .
Vamos calcular a contribuição de cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar calculando o fluxo através da superfície curva
.
Para isso, precisamos expressar o vetor normal
na direção de fora do hemisfério. Em coordenadas esféricas, a normal é na direção radial, então:
Como a superfície é esférica,
e
, onde
é o ângulo polar e
o ângulo azimutal.
No entanto, para simplificar, podemos observar que:
Onde
é a componente radial do campo elétrico. Dado que
, a componente radial é:
Sabendo que
na superfície curva, temos:
Mas para simplificar ainda mais, usando simetria esférica, o fluxo através de
será:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo através da base
.
Aqui, a normal
é na direção negativa do eixo
, pois está fechando o hemisfério:
O campo elétrico na base
é:
Então, o produto escalar
é:
Portanto, o fluxo através da base é zero:
Passo 5
Agora, somamos os fluxos das duas superfícies para obter o fluxo total:
Mas, a integração direta pode ser complicada. Uma estratégia inteligente é usar a simetria do problema e passar para coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas, sabemos que
. Então,
, e o vetor área
na superfície curva é:
O produto escalar
na superfície curva é:
Usando
, temos:
Substituindo na expressão do fluxo:
Então, o fluxo total é:
Simplificando:
Integrando em
:
Agora, a parte em
:
Fazendo substituição
,
:
Portanto, o fluxo total é:
Resposta
A carga contida no hemisfério sólido é:
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Determine os pontos da superfície
que estão mais próximos da origem.
Encontre o valor de
em que
é a região abaixo do plano
no primeiro octante.
Não existe um campo vetorial
tal que
Utilize a transformação
para determinar o volume da região limitada pela superfície
e pelos planos coordenados.