Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido x^2+y^2+z^2 <= a^2, z >= 0, se o campo elétrico for
E(x, y, z)=(x, y, 2 z)
Observação: (Lei de Gauss) A carga total englobada por uma superfície S é
Q=epsilon0 integral duplaS E cdot d S
onde epsilon0 é a constante de permissividade no vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Lei de Gauss! O enunciado pede pra gente achar a carga contida num hemisfério sólido definido por Q = epsilon0 integral duplaS E cdot dS e , sabendo que o campo elétrico é . Para isso, vamos usar a fórmula da Lei de Gauss:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo, é o campo elétrico e é um elemento de área na superfície .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a superfície fechada que envolve o hemisfério sólido. Como estamos lidando com um hemisfério, a superfície consiste em duas partes:
  1. A superfície curva do hemisfério ( ): onde e .
  2. A base plana circular ( ): onde e .
Vamos calcular a contribuição de cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar calculando o fluxo através da superfície curva dS = r , dS .
Para isso, precisamos expressar o vetor normal E cdot dS = Er , dS na direção de fora do hemisfério. Em coordenadas esféricas, a normal é na direção radial, então:
Er = E cdot r|r| = x^2 + y^2 + 2z^2a
Como a superfície é esférica, Er = a^2 + z^2a = a^2 + a^2 - x^2 - y^2a = 2a^2 - (x^2 + y^2)a e integral duplaS1 E cdot dS = integral duplaS1 Er , dS = integral duplaS1 2z^2a , dS , onde é o ângulo polar e o ângulo azimutal.
No entanto, para simplificar, podemos observar que:
Onde é a componente radial do campo elétrico. Dado que , a componente radial é:
Sabendo que na superfície curva, temos:
Mas para simplificar ainda mais, usando simetria esférica, o fluxo através de será:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo através da base dS = -k , dS .
Aqui, a normal E = (x, y, 0) é na direção negativa do eixo E cdot dS = (x, y, 0) cdot (0, 0, -1) , dS = 0 , pois está fechando o hemisfério:
integral duplaS2 E cdot dS = 0
O campo elétrico na base é:
Então, o produto escalar é:
Portanto, o fluxo através da base é zero:

Passo 5

Agora, somamos os fluxos das duas superfícies para obter o fluxo total:
integral duplaS E cdot dS = integral duplaS1 E cdot dS + integral duplaS2 E cdot dS = integral duplaS1 E cdot dS + 0 = integral duplaS1 E cdot dS
Mas, a integração direta pode ser complicada. Uma estratégia inteligente é usar a simetria do problema e passar para coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas, sabemos que dS = a^2 sintheta , dtheta , dphi , r . Então, E cdot dS = (x, y, 2z) cdot r , dS = (x, y, 2z) cdot (x, y, z)a , dS = x^2 + y^2 + 2z^2a , dS , e o vetor área x^2 + y^2 = a^2 sin^2theta na superfície curva é:
z = a costheta
O produto escalar 2z^2 = 2a^2 cos^2theta na superfície curva é:
E cdot dS = a^2 sin^2theta + 2a^2 cos^2thetaa , dS = a (sin^2theta + 2cos^2theta) , dS
Usando integral duplaS1 E cdot dS = integral0^2pi integral0^pi/2 a (sin^2theta + 2cos^2theta) a^2 sintheta , dtheta , dphi , temos:
= a^3 integral0^2pi dphi integral0^pi/2 (sin^2theta + 2cos^2theta) sintheta , dtheta
integral0^2pi dphi = 2pi
integral0^pi/2 (sin^2theta + 2cos^2theta) sintheta , dtheta
Substituindo na expressão do fluxo:
= integral1^0 (sin^2theta + 2u^2) (-du) = integral0^1 (1 - u^2 + 2u^2) du = integral0^1 (1 + u^2) du
Então, o fluxo total é:
= [ u + u^33 ]0^1 = 1 + 13 = 43
Simplificando:
integral duplaS E cdot dS = a^3 cdot 2pi cdot 43 = 8pi a^33
Integrando em :
Agora, a parte em :
Fazendo substituição , :
Portanto, o fluxo total é:

Resposta

A carga contida no hemisfério sólido é:
Q = epsilon0 cdot 8pi a^33

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