Use a Lei de Gauss para achar a carga contida no hemisfério sólido , se o campo elétrico for
Observação: (Lei de Gauss) A carga total englobada por uma superfície é
onde é a constante de permissividade no vácuo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando a Lei de Gauss! O enunciado pede pra gente achar a carga contida num hemisfério sólido definido por e , sabendo que o campo elétrico é . Para isso, vamos usar a fórmula da Lei de Gauss:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo, é o campo elétrico e é um elemento de área na superfície .

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a superfície fechada que envolve o hemisfério sólido. Como estamos lidando com um hemisfério, a superfície consiste em duas partes:
  1. A superfície curva do hemisfério ( ): onde e .
  2. A base plana circular ( ): onde e .
Vamos calcular a contribuição de cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar calculando o fluxo através da superfície curva .
Para isso, precisamos expressar o vetor normal na direção de fora do hemisfério. Em coordenadas esféricas, a normal é na direção radial, então:
Como a superfície é esférica, e , onde é o ângulo polar e o ângulo azimutal.
No entanto, para simplificar, podemos observar que:
Onde é a componente radial do campo elétrico. Dado que , a componente radial é:
Sabendo que na superfície curva, temos:
Mas para simplificar ainda mais, usando simetria esférica, o fluxo através de será:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo através da base .
Aqui, a normal é na direção negativa do eixo , pois está fechando o hemisfério:
O campo elétrico na base é:
Então, o produto escalar é:
Portanto, o fluxo através da base é zero:

Passo 5

Agora, somamos os fluxos das duas superfícies para obter o fluxo total:
Mas, a integração direta pode ser complicada. Uma estratégia inteligente é usar a simetria do problema e passar para coordenadas esféricas.
Em coordenadas esféricas, sabemos que . Então, , e o vetor área na superfície curva é:
O produto escalar na superfície curva é:
Usando , temos:
Substituindo na expressão do fluxo:
Então, o fluxo total é:
Simplificando:
Integrando em :
Agora, a parte em :
Fazendo substituição , :
Portanto, o fluxo total é:

Resposta

A carga contida no hemisfério sólido é:

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