Determine a posição do centro de massa da região D formada pela intersecção:
  • dos planos x=0, y=0, z=0 e z = 1 - x - y
  • das superfícies z = 0 e z = a^2 - x^2 - y^2
    dada uma densidade constante varrho(x, y, z) = k.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a posição do centro de massa da região D. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados ao centro de massa em geometria. Vamos precisar conhecer as equações das superfícies que delimitam a região D, a densidade constante , e aplicar integrais triplas para calcular as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região D que estamos analisando. A região é definida pela intersecção dos planos x = 0, y = 0, z = 0, e das superfícies z = 0 e . Isso significa que D está delimitada por esses planos e pela superfície da parábola .

Passo 3

Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas , y_bar e z barra. Porém, como a densidade é constante e estamos interessados apenas em , podemos focar nesse cálculo. A fórmula para é:
onde V é o volume da região D.

Passo 4

Primeiro, vamos determinar os limites de integração para a região D. Observando as equações dadas, notamos que a intersecção das superfícies define os limites de x, y e z. A superfície é um paraboloide que se intersecta com o plano . Vamos resolver para encontrar as curvas de intersecção.

Passo 5

Resolvendo , temos:
Completando o quadrado para x e y:
Isso nos mostra que a intersecção é um círculo no plano com centro em e raio .

Passo 6

Agora, vamos determinar os limites de integração para x, y e z. Vamos integrar em ordem z, y, e x:
  • z varia de 0 até .
  • Para y, para cada x, varia de 0 até .
  • E x varia de 0 até onde a parábola e o plano se intersectam, que é .

Passo 7

Com os limites estabelecidos, podemos escrever a integral para V:
E a integral para :

Passo 8

Vamos resolver a integral para V primeiro:
Integrando com relação a y:
Simplificando:
Integrando:

Passo 9

Agora, vamos calcular a integral para :
Integrando com relação a y:
Simplificando:
Expandindo:
Substituindo:

Passo 10

Agora, podemos calcular dividindo a integral de pelo volume V:

Resposta

Portanto, a posição do centro de massa da região D é:

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Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(a) r = (1-t)(i+j) + t k ; 0 <= t <= 1
Determine o volume da região D formada pela intersecção:
  • dos planos x=0, y=0, z=0 e z = 1 - x - y
  • das superfícies z = 0 e z = a^2 - x^2 - y^2
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(b) r = (1-t)(i + j + k) + t(i + j) ; 0 <= t <= 1
Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
O domínio natural de uma função vetorial é a união dos domínios de suas funções componentes.