Determine a posição
do centro de massa da região
formada pela intersecção:
- dos planos
e
- das superfícies
e
dada uma densidade constante
.
dada uma densidade constante
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para encontrarmos a posição
do centro de massa da região
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados ao centro de massa em geometria. Vamos precisar conhecer as equações das superfícies que delimitam a região
, a densidade constante
, e aplicar integrais triplas para calcular as coordenadas do centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
que estamos analisando. A região é definida pela intersecção dos planos
,
,
,
e das superfícies
e
. Isso significa que
está delimitada por esses planos e pela superfície da parábola
.
Passo 3
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular as coordenadas
,
e
. Porém, como a densidade é constante e estamos interessados apenas em
, podemos focar nesse cálculo. A fórmula para
é:
onde
é o volume da região
.
Passo 4
Primeiro, vamos determinar os limites de integração para a região
. Observando as equações dadas, notamos que a intersecção das superfícies define os limites de
,
e
. A superfície
é um paraboloide que se intersecta com o plano
. Vamos resolver
para encontrar as curvas de intersecção.
Passo 5
Resolvendo
, temos:
Completando o quadrado para
e
:
Isso nos mostra que a intersecção é um círculo no plano
com centro em
e raio
.
Passo 6
Agora, vamos determinar os limites de integração para
,
e
. Vamos integrar em ordem
,
, e
:
-
varia de até . - Para
, para cada , varia de até . - E
varia de até onde a parábola e o plano se intersectam, que é .
Passo 7
Com os limites estabelecidos, podemos escrever a integral para
:
E a integral para
:
Passo 8
Vamos resolver a integral para
primeiro:
Integrando com relação a
:
Simplificando:
Integrando:
Passo 9
Agora, vamos calcular a integral para
:
Integrando com relação a
:
Simplificando:
Expandindo:
Substituindo:
Passo 10
Agora, podemos calcular
dividindo a integral de
pelo volume
:
Resposta
Portanto, a posição
do centro de massa da região
é:
Exercícios relacionados
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(a)
(a)
Determine o volume da região
formada pela intersecção:
- dos planos
e - das superfícies
e
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(b)
(b)
Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
O domínio natural de uma função vetorial é a união dos domínios de suas funções componentes.
O domínio natural de uma função vetorial é a união dos domínios de suas funções componentes.