Determine o volume da região
formada pela intersecção:
- dos planos
e
- das superfícies
e
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume da região
que é formada pela intersecção de dois conjuntos:
-
Primeiro conjunto:
- Planos:
, , e
- Planos:
-
Segundo conjunto:
- Superfícies:
e
- Superfícies:
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume dessa região.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as superfícies envolvidas:
- Plano
: É o plano xy. - Plano
: É uma superfície inclinada que intercepta os eixos em , e cresce à medida que e aumentam. - Superfície
: É um paraboloide que abre para baixo com o vértice no ponto .
A intersecção dessas superfícies determinará os limites de integração para calcular o volume.
Passo 3
Vamos encontrar onde as superfícies se intersectam:
-
Igualando
com : Rearranjando os termos: -
Para simplificar, completamos o quadrado para
e : Isso representa um círculo com centro eme raio .
Passo 4
Agora, determinamos os limites de integração. Como as equações envolvem
e
de forma simétrica, é conveniente usar coordenadas polares.
Em coordenadas polares:
O círculo de intersecção tem centro em
, mas para simplificar, podemos ajustar o sistema ou resolver de forma cartesiana.
Para facilitar, vamos continuar em coordenadas cartesianas e considerar os limites de
e
que satisfazem a equação do círculo.
Passo 5
Com os limites estabelecidos, a função que descreve a altura da região a ser integrada é a diferença entre as duas superfícies:
Então, a integral dupla para o volume
é:
Onde
é a área do círculo de intersecção.
Passo 6
Vamos resolver a integral. Primeiro, determinamos os limites de
e
a partir da equação do círculo:
Completando o quadrado:
O raio real só existe se
, ou seja,
.
Passo 7
Finalmente, calculamos a integral dupla:
Após resolver a integral com os limites apropriados, obtemos o volume da região
.
Resposta
O volume da região
é dado por:
Exercícios relacionados
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(b)
(b)
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(a)
(a)
Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(a)
(a)
Determine a posição
do centro de massa da região
formada pela intersecção:
- dos planos
e - das superfícies
e
dada uma densidade constante.