Determine o volume da região D formada pela intersecção:
  • dos planos x=0, y=0, z=0 e z = 1 - x - y
  • das superfícies z = 0 e z = a^2 - x^2 - y^2

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume da região que é formada pela intersecção de dois conjuntos:
  1. Primeiro conjunto:
    • Planos: , , e
  2. Segundo conjunto:
    • Superfícies: e
Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para calcular o volume dessa região.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as superfícies envolvidas:
  • Plano : É o plano xy.
  • Plano : É uma superfície inclinada que intercepta os eixos em , e cresce à medida que e aumentam.
  • Superfície : É um paraboloide que abre para baixo com o vértice no ponto .
A intersecção dessas superfícies determinará os limites de integração para calcular o volume.

Passo 3

Vamos encontrar onde as superfícies se intersectam:
  1. Igualando com :
    Rearranjando os termos:
  2. Para simplificar, completamos o quadrado para e :
    Isso representa um círculo com centro em e raio .

Passo 4

Agora, determinamos os limites de integração. Como as equações envolvem e de forma simétrica, é conveniente usar coordenadas polares.
Em coordenadas polares:
O círculo de intersecção tem centro em , mas para simplificar, podemos ajustar o sistema ou resolver de forma cartesiana.
Para facilitar, vamos continuar em coordenadas cartesianas e considerar os limites de e que satisfazem a equação do círculo.

Passo 5

Com os limites estabelecidos, a função que descreve a altura da região a ser integrada é a diferença entre as duas superfícies:
Então, a integral dupla para o volume é:
Onde é a área do círculo de intersecção.

Passo 6

Vamos resolver a integral. Primeiro, determinamos os limites de e a partir da equação do círculo:
Completando o quadrado:
O raio real só existe se , ou seja, .

Passo 7

Finalmente, calculamos a integral dupla:
Após resolver a integral com os limites apropriados, obtemos o volume da região .

Resposta

O volume da região é dado por:

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Determine a posição do centro de massa da região D formada pela intersecção:
  • dos planos x=0, y=0, z=0 e z = 1 - x - y
  • das superfícies z = 0 e z = a^2 - x^2 - y^2
    dada uma densidade constante varrho(x, y, z) = k.