Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
O domínio natural de uma função vetorial é a união dos domínios de suas funções componentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para dizer se uma afirmação é verdadeira ou falsa. A afirmação é: “O domínio natural de uma função vetorial é a união dos domínios de suas funções componentes.” Aqui, estamos lidando com funções vetoriais e domínios. Para resolver isso, vamos entender o que significa o domínio de uma função vetorial e como ele se relaciona com os domínios das funções que a compõem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função vetorial. É basicamente uma função que retorna um vetor, ou seja, um conjunto de várias funções escalares. Por exemplo, se tivermos uma função vetorial , ela tem três funções componentes: , e .

Passo 3

Agora, o domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (no caso, ) para os quais a função está definida. Para uma função vetorial, queremos que todas as funções componentes estejam definidas para que a função vetorial faça sentido.

Passo 4

A afirmação diz que o domínio natural da função vetorial é a união dos domínios das suas funções componentes. Mas será que isso está certo? Vamos pensar: se a gente faz a união dos domínios, estamos incluindo todos os valores onde pelo menos uma das funções componentes está definida. Mas para a função vetorial existir, todas as componentes precisam estar definidas ao mesmo tempo. Então, na verdade, o domínio natural da função vetorial é a interseção dos domínios das funções componentes, não a união.

Passo 5

Por exemplo, se está definida para e está definida para , a função vetorial só estará definida para , que é a interseção desses dois intervalos, e não para qualquer ou sozinho.

Resposta

Falso. O domínio natural de uma função vetorial é a interseção dos domínios de suas funções componentes, não a união.

Exercícios relacionados

Esboce o segmento de reta representado pela equação vetorial.
(b) r = (1-t)(i + j + k) + t(i + j) ; 0 <= t <= 1
Determine a posição do centro de massa da região D formada pela intersecção:
  • dos planos x=0, y=0, z=0 e z = 1 - x - y
  • das superfícies z = 0 e z = a^2 - x^2 - y^2
    dada uma densidade constante varrho(x, y, z) = k.
Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
O gráfico de r(t) = < 2 cos t, 2 sen t, t > é uma hélice circular.
Esboce o gráfico de r(t) e mostre o sentido de t crescente.
r(t) = 9 cos(t) i + 4 sen(t) j + t k