2,0 Utilizando a transformada de Laplace, resolva as seguintes equações diferenciais.
q(t) - q'(t) = e^(-t), sendo que: q(0) = -1

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a equação diferencial com a condição inicial . Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas no domínio de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. A transformada de Laplace de é e a de é . Então:

Passo 3

Substituindo a condição inicial :
Vamos organizar os termos com :

Passo 4

Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Resolvendo para e :
  • Para :
  • Para :
Então:

Passo 6

Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar :

Resposta

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