Determine a transformada inversa.
para:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a transformada inversa de
. Isso está relacionado à matéria de transformadas Z, que é usada para analisar sinais e sistemas no domínio discreto. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e aplicar princípios básicos das transformadas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração
. Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 7. Esses números são 1 e 6. Então, podemos escrever:
Agora, reescrevemos
com o denominador fatorado:
Passo 3
Vamos simplificar essa fração. Dividindo o numerador pelo denominador:
Perceba que o grau do numerador e do denominador são iguais, então podemos fazer uma divisão polinomial ou simplificar diretamente. Vamos reescrever
como:
Mas para facilitar, vamos decompor a fração em frações parciais.
Passo 4
Para decompor em frações parciais, assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os valores de A e B substituindo valores de z que simplifiquem a equação.
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora que temos A e B, podemos reescrever
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, para encontrar a transformada inversa, usamos a propriedade básica da transformada Z inversa:
onde
é a função degrau unitário.
Aplicando isso aos termos de
:
Passo 8
Juntando as duas partes, a transformada inversa de
é:
Resposta
A transformada inversa de
é:
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