2,0 Determine a transformada inversa.
Z para: X(z) = z^2 / (z^2 + 7z + 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar a transformada inversa de . Isso está relacionado à matéria de transformadas Z, que é usada para analisar sinais e sistemas no domínio discreto. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e aplicar princípios básicos das transformadas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração . Procuramos dois números que multiplicados dão 6 e somados dão 7. Esses números são 1 e 6. Então, podemos escrever:
Agora, reescrevemos com o denominador fatorado:

Passo 3

Vamos simplificar essa fração. Dividindo o numerador pelo denominador:
Perceba que o grau do numerador e do denominador são iguais, então podemos fazer uma divisão polinomial ou simplificar diretamente. Vamos reescrever como:
Mas para facilitar, vamos decompor a fração em frações parciais.

Passo 4

Para decompor em frações parciais, assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os valores de A e B substituindo valores de z que simplifiquem a equação.
Para :
Para :

Passo 6

Agora que temos A e B, podemos reescrever :
Simplificando:

Passo 7

Agora, para encontrar a transformada inversa, usamos a propriedade básica da transformada Z inversa:
onde é a função degrau unitário.
Aplicando isso aos termos de :

Passo 8

Juntando as duas partes, a transformada inversa de é:

Resposta

A transformada inversa de é:

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