Determine a posição relativa e a interseção da reta com o plano nos seguintes casos: e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos descobrir como uma reta se comporta em relação a um plano . Especificamente, queremos saber se a reta está paralela ao plano, se ela intersecta o plano e, se intersecta, encontrar o ponto de interseção. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de equações paramétricas de retas e planos, além de saber como resolver um sistema de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que nos foram dadas. A reta está representada por:
Isso significa que podemos expressar cada coordenada em função de um parâmetro, digamos . Então, podemos reescrever a reta de forma paramétrica:
Aqui, é um número real que nos permite gerar todos os pontos da reta .
Passo 3
Agora, vamos analisar o plano . Ele está dado de forma paramétrica como:
Isso significa que qualquer ponto no plano pode ser obtido combinando as direções dos vetores e com coeficientes escalares e .
Para facilitar a resolução, vamos transformar essa representação paramétrica do plano em sua forma normal, ou seja, encontrar uma equação do tipo .
Passo 4
Para achar a equação do plano, precisamos primeiro encontrar dois vetores que estão no plano. Os vetores dados são e . O próximo passo é encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular aos dois vetores que estão no plano. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial de e :
Calculando:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 5:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal , podemos escrever a equação do plano. Sabemos que a equação geral do plano é:
Onde é um ponto no plano e são as componentes do vetor normal .
Vamos escolher um ponto no plano . Como e podem ser zero, um ponto no plano é (quando ). Então, substituindo na equação:
Portanto, a equação do plano é:
Passo 6
Agora que temos tanto a reta quanto o plano expressos de forma mais simples, vamos encontrar o ponto de interseção entre eles. Para isso, substituímos as expressões paramétricas da reta na equação do plano.
As equações paramétricas da reta são:
Substituindo na equação do plano :
Hmm, isso não faz sentido. O que isso significa?
Passo 7
Quando substituímos as equações da reta na equação do plano e chegamos a uma contradição como , isso indica que não existe nenhum valor de que satisfaça a equação. Em outras palavras, não há ponto em comum entre a reta e o plano .
Isso significa que a reta e o plano são paralelos, ou seja, a reta nunca intersecta o plano.
Resposta
A reta e o plano são paralelos e não possuem ponto de interseção.