Determine a posição relativa e a interseção da reta r com o plano pi nos seguintes casos:
r: x-1=y2=z-1 e pi: P=lambda(6,2,1)+beta(1,2,1), lambda, beta in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Geometria Analítica onde precisamos descobrir como uma reta r se comporta em relação a um plano pi. Especificamente, queremos saber se a reta está paralela ao plano, se ela intersecta o plano e, se intersecta, encontrar o ponto de interseção. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de equações paramétricas de retas e planos, além de saber como resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que nos foram dadas. A reta r está representada por:
x - 1 = y2 = z - 1
Isso significa que podemos expressar cada coordenada em função de um parâmetro, digamos t. Então, podemos reescrever a reta de forma paramétrica:
x = 1 + t y = 2t z = 1 + t
Aqui, t é um número real que nos permite gerar todos os pontos da reta r.

Passo 3

Agora, vamos analisar o plano pi. Ele está dado de forma paramétrica como:
P = lambda(6, 2, 1) + beta(1, 2, 1), lambda, beta in R
Isso significa que qualquer ponto no plano pi pode ser obtido combinando as direções dos vetores (6, 2, 1) e (1, 2, 1) com coeficientes escalares lambda e beta.
Para facilitar a resolução, vamos transformar essa representação paramétrica do plano em sua forma normal, ou seja, encontrar uma equação do tipo Ax + By + Cz + D = 0.

Passo 4

Para achar a equação do plano, precisamos primeiro encontrar dois vetores que estão no plano. Os vetores dados são u = (6, 2, 1) e v = (1, 2, 1). O próximo passo é encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular aos dois vetores que estão no plano. Podemos encontrar esse vetor normal calculando o produto vetorial de u e v:
n = u times v
Calculando:
n = i & j & k 6 & 2 & 1 1 & 2 & 1 = i(2 cdot 1 - 1 cdot 2) - j(6 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(6 cdot 2 - 2 cdot 1) = i(0) - j(5) + k(10) = (0, -5, 10)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por 5:
n = (0, -1, 2)

Passo 5

Agora que temos o vetor normal n = (0, -1, 2), podemos escrever a equação do plano. Sabemos que a equação geral do plano é:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano e (A, B, C) são as componentes do vetor normal n.
Vamos escolher um ponto no plano pi. Como lambda e beta podem ser zero, um ponto no plano é (0, 0, 0) (quando lambda = beta = 0). Então, substituindo na equação:
0(x - 0) -1(y - 0) + 2(z - 0) = 0 - y + 2z = 0
Portanto, a equação do plano pi é:
- y + 2z = 0

Passo 6

Agora que temos tanto a reta r quanto o plano pi expressos de forma mais simples, vamos encontrar o ponto de interseção entre eles. Para isso, substituímos as expressões paramétricas da reta na equação do plano.
As equações paramétricas da reta são:
x = 1 + t y = 2t z = 1 + t
Substituindo na equação do plano -y + 2z = 0:
- (2t) + 2(1 + t) = 0 -2t + 2 + 2t = 0 2 = 0
Hmm, isso não faz sentido. O que isso significa?

Passo 7

Quando substituímos as equações da reta na equação do plano e chegamos a uma contradição como 2 = 0, isso indica que não existe nenhum valor de t que satisfaça a equação. Em outras palavras, não há ponto em comum entre a reta r e o plano pi.
Isso significa que a reta r e o plano pi são paralelos, ou seja, a reta nunca intersecta o plano.

Resposta

A reta r e o plano pi são paralelos e não possuem ponto de interseção.

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