Estude a posição relativa dos seguintes pares de retas:
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional e precisamos descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos posições relativas de retas, como serem paralelas, concorrentes (que se cruzam) ou são retas skew (não estão no mesmo plano e não se cruzam). Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas e verificar se elas têm algum ponto em comum ou se são paralelas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as equações das retas r e s.
Para a reta r, temos:
x = 3 y = 1 - lambda (lambda in R) z = 4 + lambda
Isso significa que a reta r é parametrizada por x - 13 = y-2 = z - 3 , onde x é sempre 3, y depende de x = 1 + 3mu y = -2mu z = 3 + mu e z também depende de .
Para a reta s, temos:
Podemos reescrever isso usando um parâmetro, digamos , para facilitar a comparação:
Agora, a reta s é parametrizada por .
Passo 3
Para determinar a posição relativa das retas r e s, vamos verificar se elas são:
Concorrentes: se elas têm um ponto em comum.
Paralelas: se elas têm a mesma direção mas não se cruzam.
Skew: se não são nem concorrentes nem paralelas.
Vamos começar verificando se elas têm um ponto em comum.
Passo 4
Para que as retas r e s se cruzem, deve existir algum par de valores 3 = 1 + 3mu Rightarrow 3mu = 2 Rightarrow mu = 23 e 1 - lambda = -2mu Rightarrow 1 - lambda = -2(23) = -43 que satisfaça todas as equações das duas retas simultaneamente.
Perceba que na componente z, os valores não coincidem. Isso significa que não existe um ponto que satisfaça todas as componentes simultaneamente.
Passo 5
Como não encontramos um ponto em comum, as retas r e s não se cruzam. Agora, vamos verificar se elas são paralelas.
Para isso, comparamos os vetores diretores das duas retas.
Vetor diretor da reta r: Como r é parametrizada por (0, -1, 1) = k cdot (3, -2, 1) , o vetor diretor é 0 = 3k Rightarrow k = 0 .
Vetor diretor da reta s: A partir das equações parametrizadas, o vetor diretor é -1 neq 0 cdot (-2) = 0 e 1 neq 0 cdot 1 = 0 .
Para retas serem paralelas, seus vetores diretores devem ser múltiplos um do outro. Vamos verificar se existe um número tal que:
Analisando as componentes:
Mas se , então as outras componentes não correspondem:
Portanto, os vetores diretores não são múltiplos um do outro, o que significa que as retas não são paralelas.
Passo 6
Já que as retas não são concorrentes (não se cruzam) nem paralelas, concluímos que elas são retas skew. Isso significa que elas não estão no mesmo plano e não se cruzam em nenhum ponto.
Resposta
As retas r e s são retas skew, ou seja, não são paralelas e não se cruzam.