Estude a posição relativa dos seguintes pares de retas:
r:lx=3 y=1-lambda lambda in R e s: x-13=y-2=z-3 ; z=4+lambda

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional e precisamos descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica, onde estudamos posições relativas de retas, como serem paralelas, concorrentes (que se cruzam) ou são retas skew (não estão no mesmo plano e não se cruzam). Para resolver isso, vamos precisar entender as equações das retas e verificar se elas têm algum ponto em comum ou se são paralelas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações das retas r e s.
Para a reta r, temos:
x = 3 y = 1 - lambda (lambda in R) z = 4 + lambda
Isso significa que a reta r é parametrizada por x - 13 = y-2 = z - 3 , onde x é sempre 3, y depende de x = 1 + 3mu y = -2mu z = 3 + mu e z também depende de .
Para a reta s, temos:
Podemos reescrever isso usando um parâmetro, digamos , para facilitar a comparação:
Agora, a reta s é parametrizada por .

Passo 3

Para determinar a posição relativa das retas r e s, vamos verificar se elas são:
  1. Concorrentes: se elas têm um ponto em comum.
  2. Paralelas: se elas têm a mesma direção mas não se cruzam.
  3. Skew: se não são nem concorrentes nem paralelas.
Vamos começar verificando se elas têm um ponto em comum.

Passo 4

Para que as retas r e s se cruzem, deve existir algum par de valores 3 = 1 + 3mu Rightarrow 3mu = 2 Rightarrow mu = 23 e 1 - lambda = -2mu Rightarrow 1 - lambda = -2(23) = -43 que satisfaça todas as equações das duas retas simultaneamente.
Então, igualamos as componentes correspondentes:
  1. Componente x:
Rightarrow -lambda = -43 - 1 = -73 Rightarrow lambda = 73
  1. Componente y:
4 + lambda = 3 + mu Rightarrow 4 + 73 = 3 + 23
Rightarrow 193 neq 113
  1. Componente z:
Perceba que na componente z, os valores não coincidem. Isso significa que não existe um ponto que satisfaça todas as componentes simultaneamente.

Passo 5

Como não encontramos um ponto em comum, as retas r e s não se cruzam. Agora, vamos verificar se elas são paralelas.
Para isso, comparamos os vetores diretores das duas retas.
  • Vetor diretor da reta r: Como r é parametrizada por (0, -1, 1) = k cdot (3, -2, 1) , o vetor diretor é 0 = 3k Rightarrow k = 0 .
  • Vetor diretor da reta s: A partir das equações parametrizadas, o vetor diretor é -1 neq 0 cdot (-2) = 0 e 1 neq 0 cdot 1 = 0 .
Para retas serem paralelas, seus vetores diretores devem ser múltiplos um do outro. Vamos verificar se existe um número tal que:
Analisando as componentes:
Mas se , então as outras componentes não correspondem:
Portanto, os vetores diretores não são múltiplos um do outro, o que significa que as retas não são paralelas.

Passo 6

Já que as retas não são concorrentes (não se cruzam) nem paralelas, concluímos que elas são retas skew. Isso significa que elas não estão no mesmo plano e não se cruzam em nenhum ponto.

Resposta

As retas r e s são retas skew, ou seja, não são paralelas e não se cruzam.

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