Verifique, para cada item abaixo, se os vetor v é ou não Combinação Linear ( CL ) dos vetores contidos no conjunto B .
v=(3,-4) e =(1,2),(-2,1),(5,5)
vetor vé CL dos vetores de B

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor e um conjunto de vetores . O objetivo é verificar se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em . Isso significa que precisamos encontrar números (escalas) que, multiplicados pelos vetores de e somados, resultem em .

Passo 2

Para determinar se a cdot (1, 2) + b cdot (-2, 1) + c cdot (5, 5) = (3, -4) é uma combinação linear dos vetores em , vamos assumir que existem escalares , e tais que:
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores de , e .

Passo 3

Vamos escrever as componentes das equações separadamente:
1a - 2b + 5c = 3 (Equação 1) 2a + 1b + 5c = -4 (Equação 2) çãçã
Agora, temos um sistema de duas equações com três desconhecidos.

Passo 4

Como temos mais variáveis do que equações, podemos tentar resolver o sistema para ver se há uma solução consistente. Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar uma das variáveis. Primeiro, vamos reorganizar as equações:
1a - 2b + 5c &= 3 (Equação 1) 2a + 1b + 5c &= -4 (Equação 2) çãçã
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
(2a - 1a) + (1b + 2b) + (5c - 5c) = -4 - 3
Simplificando:
a + 3b = -7 (Equação 3) çã

Passo 5

Agora, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras usando a Equação 3. Por exemplo, vamos resolver para a = -7 - 3b :
(-7 - 3b) - 2b + 5c = 3
Em seguida, substituímos esse valor de -7 - 5b + 5c = 3 na Equação 1 para encontrar uma relação entre -5b + 5c = 10 e -b + c = 2 (Equação 4) :
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 5:
çã

Passo 6

Da Equação 4, podemos expressar c = b + 2 em termos de a = -7 - 3(0) = -7 :
c = 0 + 2 = 2
Agora, temos e em termos de . Podemos escolher um valor para e encontrar e . Por exemplo, se escolhermos :

Passo 7

Vamos verificar se esses valores satisfazem as Equações 1 e 2:
Para a Equação 1:
(-7) cdot 1 - 2 cdot 0 + 5 cdot 2 = -7 + 0 + 10 = 3 (Correto)
Para a Equação 2:
2 cdot (-7) + 1 cdot 0 + 5 cdot 2 = -14 + 0 + 10 = -4 (Correto)

Resposta

Sim, o vetor é uma combinação linear dos vetores em , com , e .

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