Verifique, para cada item abaixo, se os vetor v é ou não Combinação Linear ( CL ) dos vetores contidos no conjunto B .
e
vetor vé CL dos vetores de B
vetor vé CL dos vetores de B
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor
e um conjunto de vetores
. O objetivo é verificar se o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
. Isso significa que precisamos encontrar números (escalas) que, multiplicados pelos vetores de
e somados, resultem em
.
Passo 2
Para determinar se
é uma combinação linear dos vetores em
, vamos assumir que existem escalares
,
e
tais que:
Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar os valores de
,
e
.
Passo 3
Vamos escrever as componentes das equações separadamente:
Agora, temos um sistema de duas equações com três desconhecidos.
Passo 4
Como temos mais variáveis do que equações, podemos tentar resolver o sistema para ver se há uma solução consistente. Vamos subtrair a Equação 1 da Equação 2 para eliminar uma das variáveis. Primeiro, vamos reorganizar as equações:
Subtraindo a Equação 1 da Equação 2:
Simplificando:
Passo 5
Agora, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras usando a Equação 3. Por exemplo, vamos resolver para
:
Em seguida, substituímos esse valor de
na Equação 1 para encontrar uma relação entre
e
:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por 5:
Passo 6
Da Equação 4, podemos expressar
em termos de
:
Agora, temos
e
em termos de
. Podemos escolher um valor para
e encontrar
e
. Por exemplo, se escolhermos
:
Passo 7
Vamos verificar se esses valores satisfazem as Equações 1 e 2:
Para a Equação 1:
Para a Equação 2:
Resposta
Sim, o vetor
é uma combinação linear dos vetores em
, com
,
e
.