Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
r: 2 x+4 y-1=0 e lambda:(x-5)^2+(y-2)^2=16

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de geometria analítica! A gente tem uma reta e uma circunferência e precisa descobrir como elas se relacionam. Ou seja, queremos saber se a reta corta a circunferência, toca ela em apenas um ponto (é tangente) ou nem chega perto de tocar. Para isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre um ponto e uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos que temos:
  • A reta é dada por .
  • A circunferência é dada por .
Na circunferência, , o centro é o ponto e o raio é .

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância da reta d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 até o centro da circunferência d = |2 cdot 5 + 4 cdot 2 - 1|raiz2^2 + 4^2 = |10 + 8 - 1|raiz4 + 16 = |17|raiz20 = 172raiz5 approx 174.472 approx 3.8 . A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta é:
No nosso caso, , , , e o ponto é . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Agora que temos a distância e o raio da circunferência é , vamos comparar esses valores:
  • Se , a reta corta a circunferência em dois pontos.
  • Se , a reta é tangente à circunferência (toca em apenas um ponto).
  • Se , a reta não toca a circunferência.
No nosso caso, , então a reta corta a circunferência em dois pontos.

Resposta

A reta corta a circunferência em dois pontos.

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