No plano cartesiano, a circunferência que passa pelo ponto e é concêntrica com a circunferência tem a seguinte equação:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma circunferência que passa pelo ponto e que é concêntrica com outra circunferência dada pela equação . Aqui vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências concêntricas e suas equações no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa duas circunferências serem concêntricas. Circunferências concêntricas têm o mesmo centro, ou seja, elas compartilham o mesmo ponto central. Então, precisamos descobrir o centro da circunferência que já foi dada para usar na nova circunferência que estamos procurando.

Passo 3

A equação geral de uma circunferência é , onde é o centro e é o raio. Vamos reescrever a equação dada nessa forma para identificar o centro.

Passo 4

Completemos os quadrados para e :
Para :
  • Pegue o coeficiente de , que é -6, divida por 2 e quadrate: .
  • Acrescente 9 em ambos os lados.
Para :
  • Pegue o coeficiente de , que é -8, divida por 2 e quadrate: .
  • Acrescente 16 em ambos os lados.
Assim:
Simplificando:

Passo 5

Agora sabemos que o centro da circunferência dada é . Como as circunferências são concêntricas, a nova circunferência que queremos também terá o centro .

Passo 6

A nova circunferência passa pelo ponto . Vamos usar a fórmula da circunferência com centro em e substituir as coordenadas de para encontrar o raio .
Calculando:

Resposta

A equação da circunferência é:

Exercícios relacionados

Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
e
Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
Sabendo-se que a circunferência possui apenas um ponto em comum com a reta y , conclui-se que é igual a:
Qual é a distância entre os centros das circunferências de equações e