No plano cartesiano, a circunferência que passa pelo ponto
e é concêntrica com a circunferência
tem a seguinte equação:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a equação de uma circunferência que passa pelo ponto
e que é concêntrica com outra circunferência dada pela equação
. Aqui vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências concêntricas e suas equações no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa duas circunferências serem concêntricas. Circunferências concêntricas têm o mesmo centro, ou seja, elas compartilham o mesmo ponto central. Então, precisamos descobrir o centro da circunferência que já foi dada para usar na nova circunferência que estamos procurando.
Passo 3
A equação geral de uma circunferência é
, onde
é o centro e
é o raio. Vamos reescrever a equação dada
nessa forma para identificar o centro.
Passo 4
Completemos os quadrados para
e
:
Para
:
- Pegue o coeficiente de
, que é -6, divida por 2 e quadrate: . - Acrescente 9 em ambos os lados.
Para
:
- Pegue o coeficiente de
, que é -8, divida por 2 e quadrate: . - Acrescente 16 em ambos os lados.
Assim:
Simplificando:
Passo 5
Agora sabemos que o centro da circunferência dada é
. Como as circunferências são concêntricas, a nova circunferência que queremos também terá o centro
.
Passo 6
A nova circunferência passa pelo ponto
. Vamos usar a fórmula da circunferência com centro em
e substituir as coordenadas de
para encontrar o raio
.
Calculando:
Resposta
A equação da circunferência é:
Exercícios relacionados
Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
e
Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
Sabendo-se que a circunferência
possui apenas um ponto em comum com a reta y
, conclui-se que
é igual a:
Qual é a distância entre os centros das circunferências de equações
e