Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta e uma circunferência . O objetivo é descobrir como a reta se relaciona com a circunferência: elas se cruzam em dois pontos, tocam em um ponto (são tangentes) ou não se encontram.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria analítica, como:
  • Centro e raio de uma circunferência: podemos encontrar o centro e o raio da circunferência a partir da equação geral.
  • Distância entre um ponto e uma reta: vamos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta para determinar a posição relativa entre eles.

Passo 2

Vamos começar encontrando o centro e o raio da circunferência . A equação geral da circunferência é . Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar:
O centro da circunferência é dado por:
Então, o centro da circunferência é .
O raio da circunferência é calculado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta . A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta é:
Identificando os valores:
Aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora que temos a distância e o raio da circunferência , podemos comparar esses valores para determinar a posição relativa entre a reta e a circunferência.
  • Se : a reta corta a circunferência em dois pontos (intersecção).
  • Se : a reta é tangente à circunferência, tocando em exatamente um ponto.
  • Se : a reta não toca a circunferência (não há interseção).
Neste caso:

Resposta

A reta é tangente à circunferência , tocando-a em exatamente um ponto.

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e
Obtenha , com , de modo que o ponto , 1) pertença à circunferência de equação
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e
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