Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
r: 2 x+3 y-3=0 e lambda: x^2+y^2-4 x-8 y+7=0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta e uma circunferência . O objetivo é descobrir como a reta se relaciona com a circunferência: elas se cruzam em dois pontos, tocam em um ponto (são tangentes) ou não se encontram.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria analítica, como:
  • Centro e raio de uma circunferência: podemos encontrar o centro e o raio da circunferência a partir da equação geral.
  • Distância entre um ponto e uma reta: vamos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta para determinar a posição relativa entre eles.

Passo 2

Vamos começar encontrando o centro e o raio da circunferência x^2 + y^2 - 4x - 8y + 7 = 0 . A equação geral da circunferência é h = -D2 = --42 = 2 . Comparando com a nossa equação:
k = -E2 = --82 = 4
Podemos identificar:
  • r = raizh^2 + k^2 - F = raiz2^2 + 4^2 - 7 = raiz4 + 16 - 7 = raiz13 approx 3,605
O centro da circunferência é dado por:
Então, o centro da circunferência é .
O raio da circunferência é calculado por:

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância d = |A x0 + B y0 + C|raizA^2 + B^2 entre o centro da circunferência d = |2 times 2 + 3 times 4 - 3|raiz2^2 + 3^2 = |4 + 12 - 3|raiz4 + 9 = |13|raiz13 = 13raiz13 = raiz13 approx 3,605 e a reta . A fórmula para a distância entre um ponto e uma reta é:
Identificando os valores:
Aplicando na fórmula:

Passo 4

Agora que temos a distância d = r = raiz13 e o raio da circunferência , podemos comparar esses valores para determinar a posição relativa entre a reta e a circunferência.
  • Se : a reta corta a circunferência em dois pontos (intersecção).
  • Se : a reta é tangente à circunferência, tocando em exatamente um ponto.
  • Se : a reta não toca a circunferência (não há interseção).
Neste caso:

Resposta

A reta é tangente à circunferência , tocando-a em exatamente um ponto.

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