Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma reta
e uma circunferência
. O objetivo é descobrir como a reta se relaciona com a circunferência: elas se cruzam em dois pontos, tocam em um ponto (são tangentes) ou não se encontram.
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria analítica, como:
- Centro e raio de uma circunferência: podemos encontrar o centro e o raio da circunferência a partir da equação geral.
- Distância entre um ponto e uma reta: vamos calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta para determinar a posição relativa entre eles.
Passo 2
Vamos começar encontrando o centro e o raio da circunferência
. A equação geral da circunferência é
. Comparando com a nossa equação:
Podemos identificar:
O centro
da circunferência é dado por:
Então, o centro da circunferência é
.
O raio
da circunferência é calculado por:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância
entre o centro da circunferência
e a reta
. A fórmula para a distância entre um ponto
e uma reta
é:
Identificando os valores:
Aplicando na fórmula:
Passo 4
Agora que temos a distância
e o raio da circunferência
, podemos comparar esses valores para determinar a posição relativa entre a reta e a circunferência.
- Se
: a reta corta a circunferência em dois pontos (intersecção). - Se
: a reta é tangente à circunferência, tocando em exatamente um ponto. - Se
: a reta não toca a circunferência (não há interseção).
Neste caso:
Resposta
A reta
é tangente à circunferência
, tocando-a em exatamente um ponto.
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Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
e
Obtenha
, com
, de modo que o ponto
, 1) pertença à circunferência de equação
Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
e
No plano cartesiano, a circunferência que passa pelo ponto
e é concêntrica com a circunferência
tem a seguinte equação: