Sabendo-se que a circunferência x^2+y^2-6 x+4 y+p=0 possui apenas um ponto em comum com a reta y =x-1, conclui-se que p é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente tem uma circunferência definida pela equação e uma reta . A parada é que essas duas curvas só se intersectam em um único ponto. Nosso objetivo é descobrir o valor de que faz isso acontecer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da circunferência. A equação geral da circunferência é , onde o centro é dado por e .
No nosso caso:
  • , então
  • , então
Então, o centro da circunferência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio da circunferência. A fórmula do raio r = raizh^2 + k^2 - F é:
r = raiz3^2 + (-2)^2 - p = raiz9 + 4 - p = raiz13 - p
Aqui, , então substituindo:

Passo 4

Para que a reta x - y - 1 = 0 toque a circunferência em apenas um ponto, ela precisa ser tangente à circunferência. Isso significa que a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser igual ao raio.
Vamos calcular a distância d = |A cdot x0 + B cdot y0 + C|raizA^2 + B^2 do ponto d = |1 cdot 3 + (-1) cdot (-2) + (-1)|raiz1^2 + (-1)^2 = |3 + 2 - 1|raiz2 = 4raiz2 = 2raiz2 à reta . Primeiro, reescrevemos a reta na forma geral :
Aqui, , , e .
A fórmula da distância é:
Substituindo:

Passo 5

Agora, igualamos a distância ao raio para encontrar 2raiz2 = raiz13 - p :
(2raiz2)^2 = (raiz13 - p)^2 8 = 13 - p
Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado:
p = 13 - 8 p = 5
Isolando :

Resposta

O valor de é igual a 5.

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