Sabendo-se que a circunferência
possui apenas um ponto em comum com a reta y
, conclui-se que
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente tem uma circunferência definida pela equação
e uma reta
. A parada é que essas duas curvas só se intersectam em um único ponto. Nosso objetivo é descobrir o valor de
que faz isso acontecer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da circunferência. A equação geral da circunferência é
, onde o centro
é dado por
e
.
No nosso caso:
-
, então -
, então
Então, o centro da circunferência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o raio da circunferência. A fórmula do raio
é:
Aqui,
, então substituindo:
Passo 4
Para que a reta
toque a circunferência em apenas um ponto, ela precisa ser tangente à circunferência. Isso significa que a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser igual ao raio.
Vamos calcular a distância
do ponto
à reta
. Primeiro, reescrevemos a reta na forma geral
:
Aqui,
,
, e
.
A fórmula da distância é:
Substituindo:
Passo 5
Agora, igualamos a distância ao raio para encontrar
:
Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Isolando
:
Resposta
O valor de
é igual a 5.
Exercícios relacionados
No plano cartesiano, a circunferência que passa pelo ponto
e é concêntrica com a circunferência
tem a seguinte equação:
Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
e
Qual é a distância entre os centros das circunferências de equações
e
Considere a circunferência
dada pela equação
. O raio dessa circunferência é: