Sabendo-se que a circunferência possui apenas um ponto em comum com a reta y , conclui-se que é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui. A gente tem uma circunferência definida pela equação e uma reta . A parada é que essas duas curvas só se intersectam em um único ponto. Nosso objetivo é descobrir o valor de que faz isso acontecer. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre circunferências e distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro e o raio da circunferência. A equação geral da circunferência é , onde o centro é dado por e .
No nosso caso:
  • , então
  • , então
Então, o centro da circunferência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o raio da circunferência. A fórmula do raio é:
Aqui, , então substituindo:

Passo 4

Para que a reta toque a circunferência em apenas um ponto, ela precisa ser tangente à circunferência. Isso significa que a distância entre o centro da circunferência e a reta deve ser igual ao raio.
Vamos calcular a distância do ponto à reta . Primeiro, reescrevemos a reta na forma geral :
Aqui, , , e .
A fórmula da distância é:
Substituindo:

Passo 5

Agora, igualamos a distância ao raio para encontrar :
Para resolver, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Isolando :

Resposta

O valor de é igual a 5.

Exercícios relacionados

No plano cartesiano, a circunferência que passa pelo ponto e é concêntrica com a circunferência tem a seguinte equação:
Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
e
Qual é a distância entre os centros das circunferências de equações e
Considere a circunferência dada pela equação . O raio dessa circunferência é: