No plano cartesiano, considere a circunferência de equação
. A reta
é tangente à circunferência no ponto
. Desta forma, o a reta
intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa
a) -1 .
b) -2 .
c) 1 .
d) 2 .
a) -1 .
b) -2 .
c) 1 .
d) 2 .
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria no plano cartesiano. O problema envolve uma circunferência e uma reta tangente a ela em um ponto específico. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações de circunferências, derivadas para encontrar a equação da reta tangente e a interseção dessa reta com o eixo das abscissas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação da circunferência dada:
. Podemos reescrever essa equação para identificar o centro e o raio da circunferência.
Passo 3
Reorganizando a equação da circunferência:
Completemos o quadrado para a parte de
:
Isso nos dá:
Então, a circunferência tem centro em
e raio
.
Passo 4
Sabemos que a reta
é tangente à circunferência no ponto
. Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos da inclinação da reta que passa por
e
, pois a tangente é perpendicular a esse raio.
Passo 5
Calculamos a inclinação do raio
:
A inclinação da reta tangente
será o negativo do inverso de
, já que são perpendiculares:
Passo 6
Agora, usamos o ponto
e a inclinação
para encontrar a equação da reta
usando a forma ponto-inclinação:
Simplificando:
Passo 7
Para encontrar onde a reta
intercepta o eixo das abscissas (onde
), substituímos
na equação da reta:
Resolvendo para
:
Resposta
A reta
intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa -2.
Alternativa b) -2.
Alternativa b) -2.
Exercícios relacionados
Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, considere a circunferência
e a reta
, de equações
e
. A reta
, que é paralela a
e contém o centro de
, tem equação:
Determine a posição relativa entre a reta e a circunferência em cada caso.
e
A reta
de equação
intercepta a circunferência de centro na origem e raio
em dois pontos
e
, sendo que as coordenadas de
são ambas positivas. Determine
a equação da circunferência e os pontos e
.
a equação da circunferência e os pontos
Dada a circunferência de equação
, seja
seu ponto de ordenada máxima. A soma das coordenadas de
é: