No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x^2+y^2-4 x=0. A reta r é tangente à circunferência no ponto P(1, raiz3). Desta forma, o a reta r intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa
a) -1 .
b) -2 .
c) 1 .
d) 2 .

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria no plano cartesiano. O problema envolve uma circunferência e uma reta tangente a ela em um ponto específico. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações de circunferências, derivadas para encontrar a equação da reta tangente e a interseção dessa reta com o eixo das abscissas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação da circunferência dada: . Podemos reescrever essa equação para identificar o centro e o raio da circunferência.

Passo 3

Reorganizando a equação da circunferência:
x^2 - 4x + y^2 = 0
Completemos o quadrado para a parte de (x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4 :
(x - 2)^2 + y^2 = 2^2
Isso nos dá:
Então, a circunferência tem centro em e raio .

Passo 4

Sabemos que a reta é tangente à circunferência no ponto . Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos da inclinação da reta que passa por e , pois a tangente é perpendicular a esse raio.

Passo 5

Calculamos a inclinação do raio mCP = raiz3 - 01 - 2 = raiz3-1 = -raiz3 :
mr = 1raiz3
A inclinação da reta tangente será o negativo do inverso de , já que são perpendiculares:

Passo 6

Agora, usamos o ponto y - raiz3 = 1raiz3(x - 1) e a inclinação y = 1raiz3x - 1raiz3 + raiz3 para encontrar a equação da reta y = 1raiz3x + 2raiz3 usando a forma ponto-inclinação:
Simplificando:

Passo 7

Para encontrar onde a reta 0 = 1raiz3x + 2raiz3 intercepta o eixo das abscissas (onde 1raiz3x = -2raiz3 ), substituímos x = -2 na equação da reta:
Resolvendo para :

Resposta

A reta intercepta o eixo das abscissas no ponto de abscissa -2.
Alternativa b) -2.

Exercícios relacionados