Dois vértices de um triângulo são os pontos A(4,1,4) e B(5,6,1). Achar o vértice C sabendo que ele está sobre o eixo Oy , e a área do triângulo A B C é raiz9062.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um triângulo com dois vértices conhecidos: e . A tarefa é encontrar o terceiro vértice que está sobre o eixo (ou seja, tem coordenadas da forma ). Além disso, a área desse triângulo é dada por . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço 3D que envolve vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o eixo no espaço 3D é composto por todos os pontos onde as coordenadas e são zero. Portanto, qualquer ponto no eixo terá a forma . Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz a condição da área do triângulo.

Passo 3

Vamos calcular os vetores que representam os lados do triângulo. Primeiro, o vetor AB = B - A = (5-4, 6-1, 1-4) = (1, 5, -3) que vai de AC = C - A = (0-4, y-1, 0-4) = (-4, y-1, -4) até :
Depois, o vetor que vai de até :

Passo 4

Para encontrar a área do triângulo Área = 12 | AB times AC | , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores AB times AC = i & j & k 1 & 5 & -3 -4 & y-1 & -4 e i: (5)(-4) - (-3)(y-1) = -20 + 3(y-1) = 3y - 23 :
j: -[(1)(-4) - (-3)(-4)] = -(-4 - 12) = 16 Á
Vamos calcular o produto vetorial k: (1)(y-1) - (5)(-4) = y - 1 + 20 = y + 19 :
AB times AC = (3y - 23, 16, y + 19)
Calculando cada componente:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para encontrar a área do triângulo:
| AB times AC | = raiz(3y - 23)^2 + 16^2 + (y + 19)^2
Igualando à área dada:
12 raiz(3y - 23)^2 + 16^2 + (y + 19)^2 = raiz9062
Multiplicando ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
(3y - 23)^2 + 16^2 + (y + 19)^2 = 906
Expandindo os termos:
9y^2 - 138y + 529 + 256 + y^2 + 38y + 361 = 906
10y^2 - 100y + 1146 = 906
Subtraindo 906 de ambos os lados:
10y^2 - 100y + 240 = 0
Dividindo toda a equação por 10 para simplificar:
y^2 - 10y + 24 = 0

Resposta

Resolvendo a equação quadrática:
y^2 - 10y + 24 = 0
As soluções são:
y = 10 pm raiz100 - 962 = 10 pm 22 = 6 ou 4
Portanto, os possíveis vértices C(0, 6, 0) ou C(0, 4, 0) são:

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