Dois vértices de um triângulo são os pontos e . Achar o vértice sabendo que ele está sobre o eixo Oy , e a área do triângulo é .
Passo 1
Vamos lá! A gente tem um triângulo com dois vértices conhecidos: e . A tarefa é encontrar o terceiro vértice que está sobre o eixo (ou seja, tem coordenadas da forma ). Além disso, a área desse triângulo é dada por . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço 3D que envolve vetores e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o eixo no espaço 3D é composto por todos os pontos onde as coordenadas e são zero. Portanto, qualquer ponto no eixo terá a forma . Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz a condição da área do triângulo.
Passo 3
Vamos calcular os vetores que representam os lados do triângulo. Primeiro, o vetor que vai de até :
Depois, o vetor que vai de até :
Passo 4
Para encontrar a área do triângulo , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores e :
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando cada componente:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para encontrar a área do triângulo:
Igualando à área dada:
Multiplicando ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado para eliminar a raiz: