Dois vértices de um triângulo são os pontos e . Achar o vértice sabendo que ele está sobre o eixo Oy , e a área do triângulo é .

Passo 1

Vamos lá! A gente tem um triângulo com dois vértices conhecidos: e . A tarefa é encontrar o terceiro vértice que está sobre o eixo (ou seja, tem coordenadas da forma ). Além disso, a área desse triângulo é dada por . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo no espaço 3D que envolve vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o eixo no espaço 3D é composto por todos os pontos onde as coordenadas e são zero. Portanto, qualquer ponto no eixo terá a forma . Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz a condição da área do triângulo.

Passo 3

Vamos calcular os vetores que representam os lados do triângulo. Primeiro, o vetor que vai de até :
Depois, o vetor que vai de até :

Passo 4

Para encontrar a área do triângulo , usamos a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores e :
Á
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando cada componente:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular a magnitude desse vetor para encontrar a área do triângulo:
Igualando à área dada:
Multiplicando ambos os lados por 2 e elevando ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo os termos:
Subtraindo 906 de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 10 para simplificar:

Resposta

Resolvendo a equação quadrática:
As soluções são:
Portanto, os possíveis vértices são:

Exercícios relacionados

(UFC) O valor do número complexo e:
e)
Determine a posição relativa da reta e do plano .
Determine o valor de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores e , tenha volume .
Verifique a posição relativa entre as retas ® e (s) e determine a interseção, se houver.:
.