Determine a posição relativa das retas r1 e r2 abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
(e) r1:lx=2-3 t y=4+6 t e r2:lx=3+h y=2-2 h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir a posição relativa das retas e . Isso significa que precisamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em um ponto. Para isso, vamos precisar usar o conceito de sistemas de equações paramétricas. Basicamente, vamos igualar as expressões de e das duas retas e ver se conseguimos encontrar valores para os parâmetros e que satisfaçam as duas equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas:
Para x = 2 - 3t y = 4 + 6t :
x = 3 + h y = 2 - 2h
Para :

Passo 3

Agora, vamos igualar as coordenadas de 2 - 3t = 3 + h 4 + 6t = 2 - 2h e das duas retas. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de 2 - 3t = 3 + h Rightarrow h = 2 - 3t - 3 Rightarrow h = -1 - 3t e . Começamos isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos rearranjar a primeira equação para expressar em termos de :

Passo 5

Agora que temos 4 + 6t = 2 - 2(-1 - 3t) Rightarrow 4 + 6t = 2 + 2 + 6t Rightarrow 4 + 6t = 4 + 6t em termos de , vamos substituir essa expressão na segunda equação do sistema:

Passo 6

Observamos que ao simplificar, chegamos em uma igualdade verdadeira , que é válida para qualquer valor de . Isso significa que as equações não nos dão informação adicional sobre e , sugerindo que as retas podem coincidir ou serem paralelas.

Passo 7

Para confirmar, vamos verificar os coeficientes angulares das retas. Se as retas têm a mesma direção e passam pelo mesmo ponto, elas são coincidentes. Caso tenham a mesma direção mas não passam pelo mesmo ponto, são paralelas.
A direção de é dada pelos coeficientes de : . A direção de é dada pelos coeficientes de : . Observamos que , ou seja, as direções são proporcionais.

Passo 8

Como as direções são proporcionais, as retas são paralelas ou coincidentes. Para diferenciar, verificamos se elas compartilham algum ponto. Vamos verificar substituindo x = 2, y = 4 na x = 3, y = 2 e na :
Para com :
Para com :
Os pontos são diferentes, então as retas não coincidem.

Passo 9

Portanto, concluímos que as retas e são paralelas e não possuem ponto de interseção.

Resposta

As retas e são paralelas e não se intersectam.

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