Determine a posição relativa das retas
e
abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
(e)
e
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir a posição relativa das retas
e
. Isso significa que precisamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em um ponto. Para isso, vamos precisar usar o conceito de sistemas de equações paramétricas. Basicamente, vamos igualar as expressões de
e
das duas retas e ver se conseguimos encontrar valores para os parâmetros
e
que satisfaçam as duas equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas:
Para
:
Para
:
Passo 3
Agora, vamos igualar as coordenadas de
e
das duas retas. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de
e
. Começamos isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos rearranjar a primeira equação para expressar
em termos de
:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir essa expressão na segunda equação do sistema:
Passo 6
Observamos que ao simplificar, chegamos em uma igualdade verdadeira
, que é válida para qualquer valor de
. Isso significa que as equações não nos dão informação adicional sobre
e
, sugerindo que as retas podem coincidir ou serem paralelas.
Passo 7
Para confirmar, vamos verificar os coeficientes angulares das retas. Se as retas têm a mesma direção e passam pelo mesmo ponto, elas são coincidentes. Caso tenham a mesma direção mas não passam pelo mesmo ponto, são paralelas.
A direção de
é dada pelos coeficientes de
:
. A direção de
é dada pelos coeficientes de
:
. Observamos que
, ou seja, as direções são proporcionais.
Passo 8
Como as direções são proporcionais, as retas são paralelas ou coincidentes. Para diferenciar, verificamos se elas compartilham algum ponto. Vamos verificar substituindo
na
e
na
:
Para
com
:
Para
com
:
Os pontos são diferentes, então as retas não coincidem.
Passo 9
Portanto, concluímos que as retas
e
são paralelas e não possuem ponto de interseção.
Resposta
As retas
e
são paralelas e não se intersectam.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
sabendo que as retas
e
são perpendiculares.
Obtenha a equação reduzida e a equação geral da reta:
(b) dada por .
(b) dada por
Determine a equação geral (equação da forma
) da reta:
© que passa pelos pontos e
.
© que passa pelos pontos
Para que valores de
as retas
e
são
(a) paralelas?
(a) paralelas?