Determine a posição relativa das retas e abaixo. Se forem concorrentes, determine o ponto de interseção.
(e) e

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir a posição relativa das retas e . Isso significa que precisamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se elas se cruzam em um ponto. Para isso, vamos precisar usar o conceito de sistemas de equações paramétricas. Basicamente, vamos igualar as expressões de e das duas retas e ver se conseguimos encontrar valores para os parâmetros e que satisfaçam as duas equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das duas retas:
Para :
Para :

Passo 3

Agora, vamos igualar as coordenadas de e das duas retas. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de e . Começamos isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos rearranjar a primeira equação para expressar em termos de :

Passo 5

Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na segunda equação do sistema:

Passo 6

Observamos que ao simplificar, chegamos em uma igualdade verdadeira , que é válida para qualquer valor de . Isso significa que as equações não nos dão informação adicional sobre e , sugerindo que as retas podem coincidir ou serem paralelas.

Passo 7

Para confirmar, vamos verificar os coeficientes angulares das retas. Se as retas têm a mesma direção e passam pelo mesmo ponto, elas são coincidentes. Caso tenham a mesma direção mas não passam pelo mesmo ponto, são paralelas.
A direção de é dada pelos coeficientes de : . A direção de é dada pelos coeficientes de : . Observamos que , ou seja, as direções são proporcionais.

Passo 8

Como as direções são proporcionais, as retas são paralelas ou coincidentes. Para diferenciar, verificamos se elas compartilham algum ponto. Vamos verificar substituindo na e na :
Para com :
Para com :
Os pontos são diferentes, então as retas não coincidem.

Passo 9

Portanto, concluímos que as retas e são paralelas e não possuem ponto de interseção.

Resposta

As retas e são paralelas e não se intersectam.

Exercícios relacionados

Determine o valor de sabendo que as retas e são perpendiculares.
Obtenha a equação reduzida e a equação geral da reta:
(b) dada por .
Determine a equação geral (equação da forma ) da reta:
© que passa pelos pontos e .
Para que valores de as retas e são
(a) paralelas?