Determine a posição relativa das retas a seguir, no caso das concorrentes determine o ponto de interseção.
r: 4 x-2 y=-2 e s: y=2 x+1.

Passo 1

Beleza! Você trouxe um exercício de geometria analítica onde precisamos determinar a posição relativa de duas retas. O conteúdo envolvido aqui é o estudo das retas no plano cartesiano e como elas se relacionam umas com as outras. Para resolver, vamos precisar entender os conceitos de retas paralelas, coincidentes e concorrentes, além de saber manipular as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar ambas as equações das retas na forma padrão para facilitar a comparação. A reta 4x - 2y = -2 está dada por:
-2y = -4x - 2 y = 2x + 1
Vamos isolar o para transformá-la na forma , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (interseção com o eixo ).
Dividindo todos os termos por -2:
Agora, a reta já está na forma .

Passo 3

Observando as duas equações:
y = 2x + 1 (reta r)
y = 2x + 1 (reta s)
Vemos que ambas têm o mesmo coeficiente angular e o mesmo coeficiente linear . Isso significa que as duas retas têm a mesma inclinação e cortam o eixo no mesmo ponto.

Passo 4

Quando duas retas têm o mesmo coeficiente angular e o mesmo coeficiente linear, elas são chamadas de retas coincidentes. Isso quer dizer que, na verdade, não são duas retas diferentes, mas sim a mesma reta representada por duas equações diferentes.

Passo 5

Portanto, as retas e são coincidentes, o que implica que elas têm todos os pontos em comum. Não há um único ponto de interseção, mas sim infinitos pontos onde as duas retas “se sobrepõem”.

Resposta

As retas e são coincidentes, ou seja, coincidem em todos os seus pontos.

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