Mostre que os vetores e são ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores: e . A questão pede para a gente mostrar que esses dois vetores são ortogonais, ou seja, que eles formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, vamos usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) dos vetores, que nos ajuda a verificar essa ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Se tivermos dois vetores e , o produto escalar é dado por:
Além disso, se o produto escalar de dois vetores for zero, ou seja, , então os vetores são ortogonais.
Nossa meta é calcular e mostrar que esse valor é zero.

Passo 3

Vamos substituir na expressão do produto escalar:
Aplicando a distributiva do produto escalar:
Observamos que é igual a , mas vamos simplificar a expressão:
Note que . Então:

Resposta

Como , os vetores e são ortogonais.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes produtos vetoriais .
Calcule os determinantes a seguir:
b)
Calcule os determinantes a seguir:
d)
Determine a posição relativa das retas a seguir, no caso das concorrentes determine o ponto de interseção.
e .