Mostre que os vetores u=w-stackrelw cdot vv cdot v v e v são ortogonais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores: e . A questão pede para a gente mostrar que esses dois vetores são ortogonais, ou seja, que eles formam um ângulo de 90 graus entre si. Para isso, vamos usar o produto escalar (também conhecido como produto interno) dos vetores, que nos ajuda a verificar essa ortogonalidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto escalar. Se tivermos dois vetores a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3 + dots e , o produto escalar é dado por:
Além disso, se o produto escalar de dois vetores for zero, ou seja, , então os vetores são ortogonais.
Nossa meta é calcular e mostrar que esse valor é zero.

Passo 3

Vamos substituir u cdot v = ( w - w cdot vv cdot v v ) cdot v na expressão do produto escalar:
u cdot v = w cdot v - w cdot vv cdot v (v cdot v)
Aplicando a distributiva do produto escalar:
u cdot v = w cdot v - w cdot vv cdot v cdot v cdot v
Observamos que u cdot v = w cdot v - w cdot v = 0 é igual a , mas vamos simplificar a expressão:
Note que . Então:

Resposta

Como , os vetores e são ortogonais.

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