Sejam e vetores tridimensionais. Determine um vetor que satisfaz simultaneamente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . A gente precisa encontrar um vetor que, quando fizer o produto vetorial com , dá exatamente . Além disso, a norma de tem que ser . Para isso, vamos usar propriedades do produto vetorial e da norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, lembra que o produto vetorial entre dois vetores e resulta num vetor perpendicular a ambos. A fórmula do produto vetorial é:
Segundo, sabemos que esse produto deve ser igual a . Então, igualando as componentes:

Passo 3

Da terceira equação, já vemos que , então . Agora, substituindo na primeira equação, confirmamos que está ok. Agora, da segunda equação, , o que significa que .

Passo 4

Agora, usamos a condição da norma de . A norma de um vetor é dada por:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Sabemos que e , então substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática , percebemos que é um quadrado perfeito:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando :

Passo 8

Então, já temos todas as componentes de :

Resposta

O vetor que satisfaz as condições dadas é .

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Tome os vetores e . Determine a projeção ortogonal de sobre .
Determine a posição relativa das retas a seguir, no caso das concorrentes determine o ponto de interseção.
e .
Sendo e , calcule sabendo que e formam um ângulo obtuso.
Encontre um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores e .