Sejam e vetores tridimensionais. Determine um vetor que satisfaz simultaneamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . A gente precisa encontrar um vetor que, quando fizer o produto vetorial com , dá exatamente . Além disso, a norma de tem que ser . Para isso, vamos usar propriedades do produto vetorial e da norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, lembra que o produto vetorial entre dois vetores e resulta num vetor perpendicular a ambos. A fórmula do produto vetorial é:
Segundo, sabemos que esse produto deve ser igual a . Então, igualando as componentes:
Passo 3
Da terceira equação, já vemos que , então . Agora, substituindo na primeira equação, confirmamos que está ok. Agora, da segunda equação, , o que significa que .
Passo 4
Agora, usamos a condição da norma de . A norma de um vetor é dada por:
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
Sabemos que e , então substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Subtraindo 6 de ambos os lados:
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática , percebemos que é um quadrado perfeito: