Sejam v=(1,0,1) e w=(2,2,-2) vetores tridimensionais. Determine um vetor u=(a, b, c) que satisfaz simultaneamente:
u times v=w e |u|=raiz6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: v = (1,0,1) e w = (2,2,-2). A gente precisa encontrar um vetor u = (a, b, c) que, quando fizer o produto vetorial com v, dá exatamente w. Além disso, a norma de u tem que ser raiz6. Para isso, vamos usar propriedades do produto vetorial e da norma de vetores.

Passo 2

Primeiro, lembra que o produto vetorial entre dois vetores u e v resulta num vetor perpendicular a ambos. A fórmula do produto vetorial é:
u times v = (b cdot 1 - c cdot 0, c cdot 1 - a cdot 1, a cdot 0 - b cdot 1) = (b, c - a, -b)
Segundo, sabemos que esse produto deve ser igual a w = (2, 2, -2). Então, igualando as componentes:
b = 2 c - a = 2 - b = -2

Passo 3

Da terceira equação, já vemos que -b = -2, então b = 2. Agora, substituindo b = 2 na primeira equação, confirmamos que está ok. Agora, da segunda equação, c - a = 2, o que significa que c = a + 2.

Passo 4

Agora, usamos a condição da norma de u. A norma de um vetor u = (a, b, c) é dada por:
|u| = raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz6
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
a^2 + b^2 + c^2 = 6
Sabemos que b = 2 e c = a + 2, então substituindo:
a^2 + (2)^2 + (a + 2)^2 = 6

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
a^2 + 4 + (a^2 + 4a + 4) = 6
2a^2 + 4a + 8 = 6
Subtraindo 6 de ambos os lados:
2a^2 + 4a + 2 = 0
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
a^2 + 2a + 1 = 0

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática a^2 + 2a + 1 = 0, percebemos que é um quadrado perfeito:
(a + 1)^2 = 0 implies a = -1

Passo 7

Agora que temos a = -1, podemos encontrar c usando c = a + 2:
c = -1 + 2 = 1

Passo 8

Então, já temos todas as componentes de u:
u = (a, b, c) = (-1, 2, 1)

Resposta

O vetor que satisfaz as condições dadas é u = (-1,, 2,, 1).

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