Sejam e vetores tridimensionais. Determine um vetor que satisfaz simultaneamente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: e . A gente precisa encontrar um vetor que, quando fizer o produto vetorial com , dá exatamente . Além disso, a norma de tem que ser . Para isso, vamos usar propriedades do produto vetorial e da norma de vetores.
Passo 2
Primeiro, lembra que o produto vetorial entre dois vetores e resulta num vetor perpendicular a ambos. A fórmula do produto vetorial é:
Segundo, sabemos que esse produto deve ser igual a . Então, igualando as componentes:
Passo 3
Da terceira equação, já vemos que -b = -2, então b = 2. Agora, substituindo b = 2 na primeira equação, confirmamos que está ok. Agora, da segunda equação, c - a = 2, o que significa que c = a + 2.
Passo 4
Agora, usamos a condição da norma de u. A norma de um vetor u = (a, b, c) é dada por:
|u| = raiza^2 + b^2 + c^2 = raiz6
Elevando ambos os lados ao quadrado para simplificar:
a^2 + b^2 + c^2 = 6
Sabemos que b = 2 e c = a + 2, então substituindo:
a^2 + (2)^2 + (a + 2)^2 = 6
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
a^2 + 4 + (a^2 + 4a + 4) = 6
2a^2 + 4a + 8 = 6
Subtraindo 6 de ambos os lados:
2a^2 + 4a + 2 = 0
Dividindo toda a equação por 2 para simplificar:
a^2 + 2a + 1 = 0
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática a^2 + 2a + 1 = 0, percebemos que é um quadrado perfeito:
(a + 1)^2 = 0 implies a = -1
Passo 7
Agora que temos a = -1, podemos encontrar c usando c = a + 2:
c = -1 + 2 = 1
Passo 8
Então, já temos todas as componentes de u:
u = (a, b, c) = (-1, 2, 1)
Resposta
O vetor que satisfaz as condições dadas é u = (-1,, 2,, 1).