Tome os vetores u=(2,1,4) e v=(1,0,3). Determine a projeção ortogonal de 2 u+v sobre u+v.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão pede para determinar a projeção ortogonal de um vetor resultante, que é a combinação linear de 2u + v, sobre outro vetor resultante, u + v. Para isso, vamos precisar saber como calcular projeções de vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os vetores 2u + v e u + v.
2u + v = 2(2, 1, 4) + (1, 0, 3) = (4, 2, 8) + (1, 0, 3) = (5, 2, 11)
u + v = (2, 1, 4) + (1, 0, 3) = (3, 1, 7)

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que a projeção ortogonal de um vetor a sobre um vetor b é dada pela fórmula:
projb(a) = ( a cdot bb cdot b ) b
Aqui, a = 2u + v = (5, 2, 11) e b = u + v = (3, 1, 7).

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar a cdot b:
a cdot b = (5)(3) + (2)(1) + (11)(7) = 15 + 2 + 77 = 94

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar b cdot b:
b cdot b = (3)^2 + (1)^2 + (7)^2 = 9 + 1 + 49 = 59

Passo 6

Substituímos esses valores na fórmula da projeção:
projb(a) = ( 9459 ) b = ( 9459 ) (3, 1, 7)

Passo 7

Finalmente, multiplicamos cada componente de b pelo escalar 9459:
projb(a) = ( 28259, 9459, 65859 )

Resposta

A projeção ortogonal de 2u + v sobre u + v é ( dfrac28259, dfrac9459, dfrac65859 ).

Exercícios relacionados