Encontre o ângulo entre as retas:
e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e usar o produto escalar para calcular o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas e .
Para a reta , as equações paramétricas já estão dadas:
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de :
Agora, para a reta , que é a interseção de dois planos:
Os vetores normais desses planos são:
O vetor diretor da reta é o produto vetorial dos vetores normais:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -3:

Passo 3

Agora que temos os vetores diretores e , vamos usar o produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre eles:
Onde:

Passo 4

Vamos calcular as magnitudes dos vetores e :

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula para encontrar :
Então, o ângulo é:

Resposta

O ângulo entre as retas e é aproximadamente graus.

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Verifique se os vetores abaixo são coplanares.
a) e
Dados os vetores e . Determine os seguintes produtos mistos:
b)
Sejam os vetores e . Determinar um vetor que seja
c) ortogonal a e e tenha módulo 4
Determine a posição relativa entre os seguintes planos:
e ;