Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o ângulo entre duas retas no espaço. Para resolver isso, vamos precisar entender vetores diretores das retas e usar o produto escalar para calcular o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores diretores das retas x = 2t, y = 1 - t, z = 2 + 3t e v = 2 -1 3 .
Para a reta x + y - z + 1 = 0 2x - y + z = 0 , as equações paramétricas já estão dadas:
n1 = 1 1 -1 , n2 = 2 -1 1
O vetor diretor d = n1 times n2 = (1)(1) - (-1)(-1) (-1)(2) - (1)(1) (1)(-1) - (1)(2) = 1 - 1 -2 -1 -1 -2 = 0 -3 -3 da reta d = 0 1 1 é dado pelos coeficientes de :
Agora, para a reta , que é a interseção de dois planos:
Os vetores normais desses planos são:
O vetor diretor da reta é o produto vetorial dos vetores normais:
Podemos simplificar esse vetor dividindo por -3:
Passo 3
Agora que temos os vetores diretores v cdot d = | v | , | d | cos(theta) e v cdot d = (2)(0) + (-1)(1) + (3)(1) = 0 -1 +3 = 2 , vamos usar o produto escalar para encontrar o cosseno do ângulo entre eles:
Onde:
Passo 4
Vamos calcular as magnitudes dos vetores | v | = raiz2^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 e | d | = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 :
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula para encontrar 2 = raiz14 times raiz2 times cos(theta) 2 = raiz28 times cos(theta) cos(theta) = 2raiz28 = 22raiz7 = 1raiz7 :
theta = arccos(1raiz7) approx 65,9^circ
Então, o ângulo é:
Resposta
O ângulo entre as retas e é aproximadamente graus.