Determine os possíveis valores de a, b, e c, sabendo que M=(cccos theta & a b & c) é uma matriz simétrica e ortogonal.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma matriz M = cos theta & a b & c que precisa ser simétrica e ortogonal. Isso significa que precisamos achar os valores de a, b e c que fazem essa matriz ter essas duas propriedades. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica e ortogonal e usar essas definições para encontrar os valores desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a condição de simetria. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. A transposta de M, que a gente chama de M^T, troca as linhas pelas colunas. Então,
M^T = cos theta & b a & c
Para o M ser simétrica, M = M^T. Isso nos dá que os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais, ou seja, a = b.

Passo 3

Agora, vamos considerar a condição de ortogonalidade. Uma matriz é ortogonal se o produto dela com sua transposta for a matriz identidade. Ou seja,
M cdot M^T = I
Vamos calcular esse produto:
M cdot M^T = cos theta & a a & c cdot cos theta & a a & c = cos^2 theta + a^2 & a cos theta + a c a cos theta + a c & a^2 + c^2
Igualando a matriz identidade I = 1 & 0 0 & 1 , temos as seguintes equações:
  1. cos^2 theta + a^2 = 1
  2. a cos theta + a c = 0
  3. a^2 + c^2 = 1

Passo 4

Vamos resolver essas equações passo a passo.
Da segunda equação: a (cos theta + c) = 0. Isso significa que ou a = 0 ou cos theta + c = 0.
Caso 1: a = 0
Substituindo a = 0 na primeira equação: cos^2 theta = 1.
Isso implica que cos theta = pm 1. Portanto, theta = 0 ou theta = pi (ou múltiplos inteiros de 2pi).
E da terceira equação: 0 + c^2 = 1, então c = pm 1.
Caso 2: cos theta + c = 0, então c = -cos theta.
Substituindo c = -cos theta na primeira equação: cos^2 theta + a^2 = 1, então a^2 = 1 - cos^2 theta = sin^2 theta, daí a = pm sin theta.
E substituindo c = -cos theta na terceira equação: a^2 + cos^2 theta = 1, que já satisfaz a equação.

Resposta

Os possíveis valores são:
  • Se a = 0, então cos theta = pm 1 e c = pm 1.
  • Se c = -cos theta, então a = pm sin theta.

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