Determine os possíveis valores de
, e
, sabendo que
é uma matriz simétrica e ortogonal.
Passo 1
Beleza, então a gente tem uma matriz
que precisa ser simétrica e ortogonal. Isso significa que precisamos achar os valores de
,
e
que fazem essa matriz ter essas duas propriedades. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica e ortogonal e usar essas definições para encontrar os valores desejados.
Passo 2
Primeiro, vamos lidar com a condição de simetria. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. A transposta de
, que a gente chama de
, troca as linhas pelas colunas. Então,
Para o M ser simétrica,
. Isso nos dá que os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a condição de ortogonalidade. Uma matriz é ortogonal se o produto dela com sua transposta for a matriz identidade. Ou seja,
Vamos calcular esse produto:
Igualando a matriz identidade
, temos as seguintes equações:
Passo 4
Vamos resolver essas equações passo a passo.
Da segunda equação:
. Isso significa que ou
ou
.
Caso 1:
Substituindo
na primeira equação:
.
Isso implica que
. Portanto,
ou
(ou múltiplos inteiros de
).
E da terceira equação:
, então
.
Caso 2:
, então
.
Substituindo
na primeira equação:
, então
, daí
.
E substituindo
na terceira equação:
, que já satisfaz a equação.
Resposta
Os possíveis valores são:
- Se
, então e . - Se
, então .