Determine os possíveis valores de , e , sabendo que é uma matriz simétrica e ortogonal.

Passo 1

Beleza, então a gente tem uma matriz que precisa ser simétrica e ortogonal. Isso significa que precisamos achar os valores de , e que fazem essa matriz ter essas duas propriedades. Para resolver isso, vamos lembrar o que significa uma matriz ser simétrica e ortogonal e usar essas definições para encontrar os valores desejados.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a condição de simetria. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. A transposta de , que a gente chama de , troca as linhas pelas colunas. Então,
Para o M ser simétrica, . Isso nos dá que os elementos fora da diagonal principal devem ser iguais, ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos considerar a condição de ortogonalidade. Uma matriz é ortogonal se o produto dela com sua transposta for a matriz identidade. Ou seja,
Vamos calcular esse produto:
Igualando a matriz identidade , temos as seguintes equações:

Passo 4

Vamos resolver essas equações passo a passo.
Da segunda equação: . Isso significa que ou ou .
Caso 1:
Substituindo na primeira equação: .
Isso implica que . Portanto, ou (ou múltiplos inteiros de ).
E da terceira equação: , então .
Caso 2: , então .
Substituindo na primeira equação: , então , daí .
E substituindo na terceira equação: , que já satisfaz a equação.

Resposta

Os possíveis valores são:
  • Se , então e .
  • Se , então .

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Determinar o valor de para que o vetor seja unitário.
Seja o sistema : .
Verifique se é solução de .
Fixado o vetor unitário , seja o operador linear definido por , isto é, projeção ortogonal de sobre o eixo . Mostre que e determine o núcleo de .