Fixado o vetor unitário
, seja
o operador linear definido por
, isto é, projeção ortogonal de
sobre o eixo
. Mostre que
e determine o núcleo de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente trabalhar com vetores e projeções. A gente tem um vetor unitário
no espaço
e um operador linear
que projeta qualquer vetor
nesse espaço sobre a direção de
. Precisamos mostrar que aplicando o operador duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez (
) e também encontrar o núcleo de
. Para resolver, vamos usar conceitos de projeção vetorial e propriedades de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a projeção de um vetor
sobre
. A fórmula da projeção ortogonal é:
Como
é um vetor unitário,
, então simplifica para:
Assim, o operador
age assim:
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador
duas vezes, ou seja, calcular
. Substituindo a definição de
:
Como
é unitário,
, então:
Isso mostra que
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar o núcleo de
, que é o conjunto de todos os vetores
tais que
. Usando a definição de
:
Como
é diferente de zero, isso implica que
. Então, o núcleo de
é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a
.
Resposta
Portanto, mostramos que
e que o núcleo de
é o conjunto de vetores ortogonais a
.
Exercícios relacionados
Determine os possíveis valores de
, e
, sabendo que
é uma matriz simétrica e ortogonal.
Determinar o valor de
para que o vetor
seja unitário.
Expresse matricialmente os sistemas: