Fixado o vetor unitário u=(a1, a2, ldots, an) in R^n, seja P: R^n R^n o operador linear definido por P(v)=proju(v), isto é, projeção ortogonal de v sobre o eixo u. Mostre que P^2=P e determine o núcleo de P.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão pede para a gente trabalhar com vetores e projeções. A gente tem um vetor unitário no espaço e um operador linear que projeta qualquer vetor nesse espaço sobre a direção de . Precisamos mostrar que aplicando o operador duas vezes é o mesmo que aplicar uma vez ( ) e também encontrar o núcleo de . Para resolver, vamos usar conceitos de projeção vetorial e propriedades de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a projeção de um vetor proju(v) = ( v cdot uu cdot u ) u sobre proju(v) = (v cdot u) u . A fórmula da projeção ortogonal é:
Como é um vetor unitário, , então simplifica para:
Assim, o operador age assim: .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador P^2(v) = P( (v cdot u) u ) = ( (v cdot u) u cdot u ) u duas vezes, ou seja, calcular P^2(v) = (v cdot u) cdot 1 cdot u = (v cdot u) u = P(v) . Substituindo a definição de :
Como é unitário, , então:
Isso mostra que .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o núcleo de P(v) = (v cdot u) u = 0 , que é o conjunto de todos os vetores tais que . Usando a definição de :
Como é diferente de zero, isso implica que . Então, o núcleo de é o conjunto de todos os vetores que são ortogonais a .

Resposta

Portanto, mostramos que e que o núcleo de é o conjunto de vetores ortogonais a .

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