Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de funções racionais! A questão pede para determinarmos as assíntotas horizontais e verticais da função . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre assíntotas e como encontrá-las em funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador da fração é igual a zero. Vamos encontrar esses pontos:
Resolvendo para :
Então, a função tem uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas descrevem o comportamento da função quando se aproxima de ou . Para encontrar a assíntota horizontal em uma função racional, comparamos os graus do numerador e do denominador.
Na função :
  • O grau do numerador (4) é 0, porque é uma constante.
  • O grau do denominador (2x - 1) é 1, porque o termo de maior grau é .
Quando o grau do denominador é maior que o do numerador, a assíntota horizontal é .

Resposta

A função possui:
  • Assíntota vertical em
  • Assíntota horizontal em

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Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado: .
Um monge tibetano deixa o monastério às 6 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 20 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 6 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 20 horas noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.