Um monge tibetano deixa o monastério às 6 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 20 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 6 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 20 horas noite. Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma história de um monge que sai cedo de manhã para subir uma montanha e desce no dia seguinte. O problema quer que a gente use o Teorema do Valor Intermediário para provar que tem um certo ponto no caminho onde o monge passa pelo mesmo horário nas duas caminhadas. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre funções contínuas e esse teorema aí.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar as duas viagens do monge como funções do tempo. Vamos chamar de a posição do monge na subida a cada hora após as 6 horas da manhã, e de a posição dele na descida também a cada hora após as 6 horas da manhã do dia seguinte.

Passo 3

Agora, queremos encontrar um ponto onde essas duas posições são iguais ao mesmo tempo. Para facilitar, vamos definir uma nova função . Se a gente encontrar um onde , significa que , ou seja, o monge está no mesmo ponto ao mesmo tempo nas duas caminhadas.

Passo 4

Sabemos que o Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função é contínua em um intervalo e assume valores de sinais opostos nas extremidades desse intervalo, então ela tem pelo menos um ponto onde cruza o zero. Vamos analisar :
  • Quando o monge começa a subir ( ), ele está no início do caminho, então é o ponto de partida. Já na descida, no mesmo primeiro instante ( ), ele está no topo, então é o ponto mais alto. Assim, é negativo.
  • Quando o monge termina a subida ( horas), ele está no topo, então é o ponto mais alto. Na descida, no mesmo instante ( ), ele chegou de volta ao monastério, então é o ponto de partida. Assim, é positivo.

Passo 5

Como é contínua (porque as posições mudam de forma suave durante a caminhada) e muda de negativo para positivo no intervalo de 0 a 14 horas, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe pelo menos um onde . Ou seja, existe um ponto no caminho onde o monge passa pelo mesmo lugar no mesmo horário nas duas caminhadas.

Resposta

Existe, pelo Teorema do Valor Intermediário, um ponto no caminho onde o monge passa pelo mesmo local exatamente na mesma hora durante as caminhadas de subida e descida.

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(e)
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