Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas: f(x) = (x^2 - 2x + 3) / (3x^2 + x + 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função . Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, porque nesses pontos a função não está definida e o valor de tende ao infinito. Então, vamos resolver a equação do denominador:

Passo 3

Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e . Calculando o discriminante ( ):

Passo 4

Como o discriminante é negativo ( ), a equação não tem raízes reais. Isso significa que o denominador nunca é zero para valores reais de , então não há assíntotas verticais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem observando o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais:
í

Resposta

A função possui uma assíntota horizontal em e não possui assíntotas verticais.

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