Determine, quando possível, as assíntotas horizontais e verticais das funções dadas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais da função
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e análise de funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função é zero, porque nesses pontos a função não está definida e o valor de
tende ao infinito. Então, vamos resolver a equação do denominador:
Passo 3
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
. Calculando o discriminante (
):
Passo 4
Como o discriminante
é negativo (
), a equação não tem raízes reais. Isso significa que o denominador nunca é zero para valores reais de
, então não há assíntotas verticais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem observando o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador.
No nosso caso, tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2. Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes principais:
Resposta
A função
possui uma assíntota horizontal em
e não possui assíntotas verticais.