Determine, se possível, as constantes a, b e c em R de modo que f seja contínua em x_0. f(x) = { 3x - 3, x > -3; ax, x = -3; bx^2 + 1, x < -3 } ( x0 = -3 )

Passo 1

Então, a gente tem uma função definida por partes chamada , e queremos descobrir os valores das constantes e que fazem essa função continuar contínua em . Ou seja, queremos que não haja “quebra” ou “descontinuidade” naquele ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite e continuidade, que nos ajuda a garantir que o valor da função se aproxime de um único número quando se aproxima de pela esquerda e pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite da função quando se aproxima de pela direita, ou seja, valores de maiores que . A expressão para é . Então, calculamos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, valores de menores que . A expressão para é . Então, calculamos:

Passo 4

Para a função ser contínua em , os dois limites que calculamos devem ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função em . Ou seja:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar e .
Primeiro, igualamos os limites:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 9:
Agora, sabemos que deve ser igual ao limite, que é :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

As constantes que tornam contínua em são e .

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