Determine, se possível, as constantes e de modo que seja contínua em .
Passo 1
Então, a gente tem uma função definida por partes chamada , e queremos descobrir os valores das constantes e que fazem essa função continuar contínua em . Ou seja, queremos que não haja “quebra” ou “descontinuidade” naquele ponto. Para resolver isso, vamos usar o conceito de limite e continuidade, que nos ajuda a garantir que o valor da função se aproxime de um único número quando se aproxima de pela esquerda e pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o limite da função quando se aproxima de pela direita, ou seja, valores de maiores que . A expressão para é . Então, calculamos:
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite da função quando se aproxima de pela esquerda, ou seja, valores de menores que . A expressão para é . Então, calculamos:
Passo 4
Para a função ser contínua em , os dois limites que calculamos devem ser iguais, e também devem ser iguais ao valor da função em . Ou seja:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 5
Vamos resolver essas equações para encontrar e .
Primeiro, igualamos os limites:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 9:
Agora, sabemos que deve ser igual ao limite, que é :