Nas seguintes proposições abertas o domínio de discurso é o conjunto dos números reais. Para essas proposições esboce na reta real o seu conjunto verdade.
(a)
e
.
(b)
ou
.
©
ou
e
.
(d) não é verdade que
e
.
(a)
(b)
©
(d) não é verdade que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve proposições com o domínio dos números reais. A gente vai precisar entender um pouco sobre desigualdades e como representar conjuntos verdade na reta numérica. Vamos analisar cada proposição (a, b, c, d) e desenhar onde elas são verdadeiras na reta real.
Passo 2
Parte (a):
e
.
Primeiro, vamos entender o que essa proposição diz. Ela está dizendo que
é maior que 2 e menor que 4 ao mesmo tempo. Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem ambas as condições.
Então, estamos buscando os números que estão entre 2 e 4. Em termos de intervalos, isso seria representado por
, onde os parênteses indicam que os extremos 2 e 4 não estão incluídos.
Passo 3
Parte (b):
ou
.
Aqui, a proposição está dizendo que
é maior que 2 ou menor que 3. Vamos pensar nisso:
- Se
, qualquer número maior que 2 satisfaz essa parte. - Se
, qualquer número menor que 3 também satisfaz.
Como é um “ou”, basta que uma das condições seja verdadeira. Na verdade, se
, isso já cobre todos os números acima de 2, e
cobre os números abaixo de 3. Portanto, a união desses intervalos cobre toda a reta real, exceto exatamente em 2 e 3, mas como estamos usando desigualdades estritas, excluímos 2 e 3.
Então, o conjunto verdade é
, que na realidade cobre todos os números reais.
Passo 4
Parte ©:
ou
.
Vamos decompor essa proposição. Ela diz que
é maior que 2 ou está entre 3 e 5 (maior que 3 e menor que 5).
Então, temos duas partes:
-
: todos os números maiores que 2. -
e : todos os números entre 3 e 5.
Como é um “ou”, a união desses conjuntos seria qualquer número maior que 2, já que os números entre 3 e 5 já estão incluídos em
. Portanto, o conjunto verdade é novamente
.
Passo 5
Parte (d): Não é verdade que
e
.
Essa proposição está negando a condição de
estar entre 2 e 4. Então, estamos dizendo que
não está simultaneamente maior que 2 e menor que 4.
Isso significa que
pode ser menor ou igual a 2 ou maior ou igual a 4. Em termos de intervalos, isso é representado por
.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)