Nas seguintes proposições abertas o domínio de discurso é o conjunto dos números reais. Para essas proposições esboce na reta real o seu conjunto verdade.
(a) e .
(b) ou .
© ou e .
(d) não é verdade que e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve proposições com o domínio dos números reais. A gente vai precisar entender um pouco sobre desigualdades e como representar conjuntos verdade na reta numérica. Vamos analisar cada proposição (a, b, c, d) e desenhar onde elas são verdadeiras na reta real.

Passo 2

Parte (a): e .
Primeiro, vamos entender o que essa proposição diz. Ela está dizendo que é maior que 2 e menor que 4 ao mesmo tempo. Para resolver isso, precisamos encontrar os valores de que satisfazem ambas as condições.
Então, estamos buscando os números que estão entre 2 e 4. Em termos de intervalos, isso seria representado por , onde os parênteses indicam que os extremos 2 e 4 não estão incluídos.

Passo 3

Parte (b): ou .
Aqui, a proposição está dizendo que é maior que 2 ou menor que 3. Vamos pensar nisso:
  • Se , qualquer número maior que 2 satisfaz essa parte.
  • Se , qualquer número menor que 3 também satisfaz.
Como é um “ou”, basta que uma das condições seja verdadeira. Na verdade, se , isso já cobre todos os números acima de 2, e cobre os números abaixo de 3. Portanto, a união desses intervalos cobre toda a reta real, exceto exatamente em 2 e 3, mas como estamos usando desigualdades estritas, excluímos 2 e 3.
Então, o conjunto verdade é , que na realidade cobre todos os números reais.

Passo 4

Parte ©: ou .
Vamos decompor essa proposição. Ela diz que é maior que 2 ou está entre 3 e 5 (maior que 3 e menor que 5).
Então, temos duas partes:
  1. : todos os números maiores que 2.
  2. e : todos os números entre 3 e 5.
Como é um “ou”, a união desses conjuntos seria qualquer número maior que 2, já que os números entre 3 e 5 já estão incluídos em . Portanto, o conjunto verdade é novamente .

Passo 5

Parte (d): Não é verdade que e .
Essa proposição está negando a condição de estar entre 2 e 4. Então, estamos dizendo que não está simultaneamente maior que 2 e menor que 4.
Isso significa que pode ser menor ou igual a 2 ou maior ou igual a 4. Em termos de intervalos, isso é representado por .

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados

Determine, se possível, as constantes e de modo que seja contínua em .
Negue as seguintes proposições:
(a) e 2 é par.
(b) Não é verdade que (3 é par ou que 5 é impar).
© 2 é um número par e é um número ímpar.
(d) 2 é número par e não é verdade que 3 é um número ímpar.
(e) Todo elemento do conjunto é elemento do conjunto .
Determine o valor verdade das seguintes proposições:
(a) Se 2 é par, então 3 é ímpar.
(b) Se 2 não é par, então 3 é ímpar.
© Se 3 não é par, então 3 não é ímpar.
Determine o valor de quando: