Determine, se possível, a inversa da matriz
M=(lll 1 & 1 & 1 2 & 3 & 1 4 & 9 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos determinar se dá para achar a inversa da matriz . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente o cálculo do determinante e a matriz adjunta. Precisamos primeiro calcular o determinante de . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa, e podemos encontrá-la usando a fórmula da matriz adjunta dividida pelo determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(M) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) . Para uma matriz M = 1 & 1 & 1 2 & 3 & 1 4 & 9 & 1 como a nossa, o determinante a = 1, b = 1, c = 1, d = 2, e = 3, f = 1, g = 4, h = 9, i = 1 é calculado assim:
det(M) = 1(3 times 1 - 1 times 9) - 1(2 times 1 - 1 times 4) + 1(2 times 9 - 3 times 4)
Onde a, b, c, d, e, f, g, h, i são os elementos da matriz:
det(M) = 1(3 - 9) - 1(2 - 4) + 1(18 - 12)
Então, identificando os valores:
det(M) = 1(-6) - 1(-2) + 1(6)
Substituindo na fórmula:
det(M) = -6 + 2 + 6 = 2

Passo 3

Como o determinante M^-1 = 1det(M) cdot adj(M) é diferente de zero, podemos afirmar que a matriz tem inversa. Agora, vamos calcular a inversa usando a fórmula:
Onde é a matriz adjunta de , que é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 4

Vamos encontrar a matriz dos cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada elemento da matriz dos cofatores M11 = det 3 & 1 9 & 1 = (3)(1) - (1)(9) = 3 - 9 = -6 é dado por:
C11 = (-1)^1+1 times (-6) = 1 times (-6) = -6
Onde M12 = det 2 & 1 4 & 1 = (2)(1) - (1)(4) = 2 - 4 = -2 é o menor complementar do elemento na posição C12 = (-1)^1+2 times (-2) = -1 times (-2) = 2 .
Calculando cada cofator:
  1. Cofator M13 = det 2 & 3 4 & 9 = (2)(9) - (3)(4) = 18 - 12 = 6 :
C13 = (-1)^1+3 times 6 = 1 times 6 = 6
M21 = det 1 & 1 9 & 1 = (1)(1) - (1)(9) = 1 - 9 = -8
  1. Cofator C21 = (-1)^2+1 times (-8) = -1 times (-8) = 8 :
M22 = det 1 & 1 4 & 1 = (1)(1) - (1)(4) = 1 - 4 = -3
C22 = (-1)^2+2 times (-3) = 1 times (-3) = -3
  1. Cofator M23 = det 1 & 1 4 & 9 = (1)(9) - (1)(4) = 9 - 4 = 5 :
C23 = (-1)^2+3 times 5 = -1 times 5 = -5
M31 = det 1 & 1 3 & 1 = (1)(1) - (1)(3) = 1 - 3 = -2
  1. Cofator C31 = (-1)^3+1 times (-2) = 1 times (-2) = -2 :
M32 = det 1 & 1 2 & 1 = (1)(1) - (1)(2) = 1 - 2 = -1
C32 = (-1)^3+2 times (-1) = -1 times (-1) = 1
  1. Cofator M33 = det 1 & 1 2 & 3 = (1)(3) - (1)(2) = 3 - 2 = 1 :
C33 = (-1)^3+3 times 1 = 1 times 1 = 1
C = -6 & 2 & 6 8 & -3 & -5 -2 & 1 & 1
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
  1. Cofator :
Então, a matriz dos cofatores é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta adj(M) = C^T = -6 & 8 & -2 2 & -3 & 1 6 & -5 & 1 , que é a transposta da matriz dos cofatores :

Passo 6

Finalmente, usamos a fórmula da inversa:
M^-1 = 1det(M) cdot adj(M)
M^-1 = 12 cdot -6 & 8 & -2 2 & -3 & 1 6 & -5 & 1
M^-1 = -3 & 4 & -1 1 & -1.5 & 0.5 3 & -2.5 & 0.5

Resposta

A inversa da matriz M^-1 = -3 & 4 & -1 1 & -1.5 & 0.5 3 & -2.5 & 0.5 é:

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