Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações aqui:
rl a x + y + 2 z = & b 2 a x - y + 2 z = & 1 2 x + y + 2 z = & 3
Primeiro, resumindo o que temos: são três equações com três incógnitas , e . A matéria que vai rolar aqui é Sistemas Lineares, e a gente vai precisar usar métodos de substituição ou eliminação para resolver. Também vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes para discutir as condições de existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Vamos começar organizando o sistema de forma que fique mais fácil de trabalhar. Vou reescrever as equações:
(a x + y + 2 z) + (2 a x - y + 2 z) = b + 1 (Equação 1)
3 a x + 4 z = b + 1 (Equação 4) (Equação 2)
(Equação 3)
Primeiro passo: vamos somar a Equação 1 com a Equação 2 para eliminar o :
Simplificando:
çã
Passo 3
Agora, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 3 para também eliminar o (2 x + y + 2 z) - (a x + y + 2 z) = 3 - b :
(2 - a) x = 3 - b (Equação 5)
Simplificando:
çã
Passo 4
Vamos resolver a Equação 5 para (2 - a) x = 3 - b implies x = 3 - b2 - a :
Aqui, é importante notar que o denominador não pode ser zero, ou seja, , para que seja definido.
Passo 5
Com o valor de 3 a ( 3 - b2 - a ) + 4 z = b + 1 em mãos, vamos substituir na Equação 4 para encontrar 3 a (3 - b)2 - a + 4 z = b + 1 :
4 z = b + 1 - 3 a (3 - b)2 - a
Multiplicando:
z = b + 14 - 3 a (3 - b)4(2 - a)
Vamos isolar :
Passo 6
Agora que temos a x + y + 2 z = b e a ( 3 - b2 - a ) + y + 2 ( b + 14 - 3 a (3 - b)4(2 - a) ) = b , vamos encontrar 3 a - a b2 - a + y + b + 12 - 3 a (3 - b)2(2 - a) = b usando a Equação 1:
y = b - 3 a - a b2 - a - b + 12 + 3 a (3 - b)2(2 - a)
Substituindo e :
Simplificando:
Isolando :
Passo 7
Para garantir que o sistema tenha uma solução única, precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. A matriz dos coeficientes é:
a & 1 & 2 2a & -1 & 2 2 & 1 & 2
O determinante D = a cdot (-1 cdot 2 - 2 cdot 1) - 1 cdot (2a cdot 2 - 2 cdot 2) + 2 cdot (2a cdot 1 - (-1) cdot 2) dessa matriz é calculado por:
O sistema possui uma solução única para todos os valores de e tais que . Quando , o sistema não tem uma solução única, podendo ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo do valor de .