Discutir o sistema:
rl a x+y+2 z= & b 2 a x-y+2 z= & 1 2 x+y+2 z= & 3

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse sistema de equações aqui:
rl a x + y + 2 z = & b 2 a x - y + 2 z = & 1 2 x + y + 2 z = & 3
Primeiro, resumindo o que temos: são três equações com três incógnitas , e . A matéria que vai rolar aqui é Sistemas Lineares, e a gente vai precisar usar métodos de substituição ou eliminação para resolver. Também vamos precisar calcular o determinante da matriz dos coeficientes para discutir as condições de existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Vamos começar organizando o sistema de forma que fique mais fácil de trabalhar. Vou reescrever as equações:
  1. (a x + y + 2 z) + (2 a x - y + 2 z) = b + 1  (Equação 1)
  2. 3 a x + 4 z = b + 1 (Equação 4)  (Equação 2)
  3.  (Equação 3)
Primeiro passo: vamos somar a Equação 1 com a Equação 2 para eliminar o :
Simplificando:
çã

Passo 3

Agora, vamos subtrair a Equação 1 da Equação 3 para também eliminar o (2 x + y + 2 z) - (a x + y + 2 z) = 3 - b :
(2 - a) x = 3 - b (Equação 5)
Simplificando:
çã

Passo 4

Vamos resolver a Equação 5 para (2 - a) x = 3 - b implies x = 3 - b2 - a :
Aqui, é importante notar que o denominador não pode ser zero, ou seja, , para que seja definido.

Passo 5

Com o valor de 3 a ( 3 - b2 - a ) + 4 z = b + 1 em mãos, vamos substituir na Equação 4 para encontrar 3 a (3 - b)2 - a + 4 z = b + 1 :
4 z = b + 1 - 3 a (3 - b)2 - a
Multiplicando:
z = b + 14 - 3 a (3 - b)4(2 - a)
Vamos isolar :

Passo 6

Agora que temos a x + y + 2 z = b e a ( 3 - b2 - a ) + y + 2 ( b + 14 - 3 a (3 - b)4(2 - a) ) = b , vamos encontrar 3 a - a b2 - a + y + b + 12 - 3 a (3 - b)2(2 - a) = b usando a Equação 1:
y = b - 3 a - a b2 - a - b + 12 + 3 a (3 - b)2(2 - a)
Substituindo e :
Simplificando:
Isolando :

Passo 7

Para garantir que o sistema tenha uma solução única, precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja diferente de zero. A matriz dos coeficientes é:
a & 1 & 2 2a & -1 & 2 2 & 1 & 2
O determinante D = a cdot (-1 cdot 2 - 2 cdot 1) - 1 cdot (2a cdot 2 - 2 cdot 2) + 2 cdot (2a cdot 1 - (-1) cdot 2) dessa matriz é calculado por:
D = a(-2 - 2) - 1(4a - 4) + 2(2a + 2) = -4a - 4a + 4 + 4a + 4 = (-4a) + ( -4a + 4a) + 4 + 4 = -4a + 8
Simplificando:
D = -4a + 8 implies D = 8 - 4a
Então,
8 - 4a neq 0 implies a neq 2
Para que o determinante seja diferente de zero:

Resposta

O sistema possui uma solução única para todos os valores de e tais que . Quando , o sistema não tem uma solução única, podendo ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo do valor de .

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