Obter a equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado: x^24+y^216=1, z=0; eixo maior.

Passo 1

Vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos a equação de uma elipse: , que está no plano . O objetivo é encontrar a equação da superfície gerada ao rotacionar essa elipse em torno do seu eixo maior. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre rotação de curvas e superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual é o eixo maior da elipse. Na equação , os denominadores indicam os comprimentos dos semi-eixos. Aqui, e , então e . Como , o eixo maior está na direção do eixo .

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa rotacionar a elipse em torno do eixo maior. Quando rotacionamos uma curva em torno de um eixo, estamos criando uma superfície de revolução. No nosso caso, ao girar a elipse em torno do eixo , teremos uma superfície simétrica em torno desse eixo.

Passo 4

Para encontrar a equação da superfície resultante, podemos usar a técnica de substituição que envolve expressar em termos de e . Como a rotação é em torno do eixo , a distância radial em relação a esse eixo é dada por .

Passo 5

Substituindo (raizx^2 + z^2)^24 + y^216 = 1 na equação original da elipse, temos:
x^2 + z^24 + y^216 = 1
Simplificando:

Passo 6

Essa é a equação da superfície gerada pela rotação da elipse em torno do eixo . Ela representa um elipsoide de revolução, que é simétrico em relação ao eixo maior.

Resposta

A equação da superfície gerada é:
x^2 + z^24 + y^216 = 1

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