Obter a equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado:
; eixo maior.
Passo 1
Vamos resumir o que o problema está pedindo. Temos a equação de uma elipse:
, que está no plano
. O objetivo é encontrar a equação da superfície gerada ao rotacionar essa elipse em torno do seu eixo maior. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre rotação de curvas e superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual é o eixo maior da elipse. Na equação
, os denominadores indicam os comprimentos dos semi-eixos. Aqui,
e
, então
e
. Como
, o eixo maior está na direção do eixo
.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa rotacionar a elipse em torno do eixo maior. Quando rotacionamos uma curva em torno de um eixo, estamos criando uma superfície de revolução. No nosso caso, ao girar a elipse em torno do eixo
, teremos uma superfície simétrica em torno desse eixo.
Passo 4
Para encontrar a equação da superfície resultante, podemos usar a técnica de substituição que envolve expressar
em termos de
e
. Como a rotação é em torno do eixo
, a distância radial em relação a esse eixo é dada por
.
Passo 5
Substituindo
na equação original da elipse, temos:
Simplificando:
Passo 6
Essa é a equação da superfície gerada pela rotação da elipse em torno do eixo
. Ela representa um elipsoide de revolução, que é simétrico em relação ao eixo maior.
Resposta
A equação da superfície gerada é: