Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a transformada de Laplace da função
. Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace e manipular expressões com funções hiperbólicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Sabemos que a função hiperbólica cosseno pode ser escrita como:
Então, substituindo na expressão da função:
Passo 3
Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de
. A transformada de Laplace é linear, ou seja:
Sabemos que:
E também que:
No nosso caso,
, então:
Passo 4
Substituindo essas transformadas na expressão anterior:
Simplificando, temos:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: