Determine, quando possível, a transformada de Laplace das funções abaixo.
f(t) = cosh(t) / e^t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar a transformada de Laplace da função . Isso faz parte da matéria de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta super útil para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Vamos precisar usar algumas propriedades básicas das transformadas de Laplace e manipular expressões com funções hiperbólicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função . Sabemos que a função hiperbólica cosseno pode ser escrita como:
Então, substituindo na expressão da função:

Passo 3

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace de . A transformada de Laplace é linear, ou seja:
Sabemos que:
E também que:
No nosso caso, , então:

Passo 4

Substituindo essas transformadas na expressão anterior:
Simplificando, temos:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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