Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Aqui, vamos usar o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar funções racionais para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a função em frações parciais. Isso significa que queremos escrever como a soma de duas frações mais simples:
Aqui, e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os valores de e , multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Combinando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Como não há termo em no lado esquerdo, os coeficientes devem satisfazer:

Passo 5

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Então, .

Passo 6

Agora que encontramos e , substituímos de volta na decomposição de frações parciais:

Passo 7

Aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
Então:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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