Encontre a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Aqui, vamos usar o conteúdo de Transformadas de Laplace, especificamente a técnica de frações parciais, que nos ajuda a simplificar funções racionais para facilitar a inversão.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a função
em frações parciais. Isso significa que queremos escrever
como a soma de duas frações mais simples:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os valores de
e
, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação. Como não há termo em
no lado esquerdo, os coeficientes devem satisfazer:
Passo 5
Resolvendo o sistema de equações:
-
De
, temos . -
Substituindo
na segunda equação:
- Então,
.
Passo 6
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta na decomposição de frações parciais:
Passo 7
Aplicamos a transformada de Laplace inversa a cada termo separadamente. Sabemos que:
Então:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é:
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