Seja um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio é o conjunto formado pelos vetores que são ortogonais a todos os vetores . Para todo subespaço mostre que ;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com um produto interno (ou produto escalar). O enunciado fala sobre o complemento ortogonal de um conjunto , que é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor de . Queremos mostrar que, para qualquer subespaço de , o espaço todo pode ser escrito como a soma direta de e do seu complemento ortogonal . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como subespaço, complemento ortogonal e soma direta de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa soma direta de dois subespaços. Dizemos que se todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Formalmente, para todo , existe um único e um único tal que .
Passo 3
Agora, vamos garantir que qualquer vetor possa ser decomposto dessa maneira. Considere um vetor . Queremos encontrar e tal que .
Passo 4
Para encontrar e , usamos o teorema da projeção ortogonal. Esse teorema diz que dado um subespaço de , para qualquer vetor , existe uma projeção ortogonal de sobre , denotada por , que é o vetor em mais próximo de . Esse vetor satisfaz , ou seja, .
Passo 5
Vamos verificar que e . Por definição da projeção ortogonal, está em . Além disso, deve ser ortogonal a todos os vetores de . Isso significa que para qualquer , temos , onde denota o produto interno. Assim, está em .
Passo 6
Também precisamos garantir que essa decomposição seja única. Suponha que existam e tais que . Subtraindo as duas igualdades, temos . O lado esquerdo está em e o lado direito está em . A única possibilidade é que ambos sejam o vetor zero, ou seja, e . Assim, a decomposição é única.
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer vetor pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de , ou seja, .