Seja
um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio
é o conjunto
formado pelos vetores
que são ortogonais a todos os vetores
. Para todo subespaço
mostre que
;
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial
com um produto interno (ou produto escalar). O enunciado fala sobre o complemento ortogonal de um conjunto
, que é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a cada vetor de
. Queremos mostrar que, para qualquer subespaço
de
, o espaço todo
pode ser escrito como a soma direta de
e do seu complemento ortogonal
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como subespaço, complemento ortogonal e soma direta de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa soma direta de dois subespaços. Dizemos que
se todo vetor
em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Formalmente, para todo
, existe um único
e um único
tal que
.
Passo 3
Agora, vamos garantir que qualquer vetor
possa ser decomposto dessa maneira. Considere um vetor
. Queremos encontrar
e
tal que
.
Passo 4
Para encontrar
e
, usamos o teorema da projeção ortogonal. Esse teorema diz que dado um subespaço
de
, para qualquer vetor
, existe uma projeção ortogonal de
sobre
, denotada por
, que é o vetor em
mais próximo de
. Esse vetor
satisfaz
, ou seja,
.
Passo 5
Vamos verificar que
e
. Por definição da projeção ortogonal,
está em
. Além disso,
deve ser ortogonal a todos os vetores de
. Isso significa que para qualquer
, temos
, onde
denota o produto interno. Assim,
está em
.
Passo 6
Também precisamos garantir que essa decomposição seja única. Suponha que existam
e
tais que
. Subtraindo as duas igualdades, temos
. O lado esquerdo
está em
e o lado direito
está em
. A única possibilidade é que ambos sejam o vetor zero, ou seja,
e
. Assim, a decomposição é única.
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer vetor
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
, ou seja,
.