Seja um espaço vetorial com produto interno. O complemento ortogonal de um conjunto não-vazio é o conjunto formado pelos vetores que são ortogonais a todos os vetores . Para todo subespaço mostre que
;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um espaço vetorial com um produto interno (ou produto escalar). O enunciado fala sobre o complemento ortogonal de um conjunto , que é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a cada vetor de . Queremos mostrar que, para qualquer subespaço de , o espaço todo pode ser escrito como a soma direta de e do seu complemento ortogonal . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos como subespaço, complemento ortogonal e soma direta de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa soma direta de dois subespaços. Dizemos que se todo vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Formalmente, para todo , existe um único e um único tal que .

Passo 3

Agora, vamos garantir que qualquer vetor possa ser decomposto dessa maneira. Considere um vetor . Queremos encontrar e tal que .

Passo 4

Para encontrar e , usamos o teorema da projeção ortogonal. Esse teorema diz que dado um subespaço de , para qualquer vetor , existe uma projeção ortogonal de sobre , denotada por , que é o vetor em mais próximo de . Esse vetor satisfaz , ou seja, .

Passo 5

Vamos verificar que e . Por definição da projeção ortogonal, está em . Além disso, deve ser ortogonal a todos os vetores de . Isso significa que para qualquer , temos , onde denota o produto interno. Assim, está em .

Passo 6

Também precisamos garantir que essa decomposição seja única. Suponha que existam e tais que . Subtraindo as duas igualdades, temos . O lado esquerdo está em e o lado direito está em . A única possibilidade é que ambos sejam o vetor zero, ou seja, e . Assim, a decomposição é única.

Resposta

Portanto, mostramos que qualquer vetor pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de , ou seja, .

Exercícios relacionados

Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
Seja o subespaço gerado pelos vetores de .
© Determine uma base para que possua dois vetores de .
Determine o posto de cada uma das matrizes abaixo e diga quals delas são equivalentes à matriz identidade.
a) verificar que é uma base.
b) sendo , ache a expressão de na base .
Resposta: (b)